Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm C nằm trên đường tròn (C không trùng với A và

Câu hỏi số 254877:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm C nằm trên đường tròn (C không trùng với A và B). Lấy điểm D thuộc đoạn AC (D không trùng với A và C). Tia BD cắt cung nhỏ AC tại điểm M, tia BC cắt tia AM tại điểm N.

1. Chứng minh MNCD là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh AM.BD = AD.BC

3. Gọi I là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM và tam giác BDC. Chứng minh ba điểm N, D, I thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:254877

Phương pháp giải

+) Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({{180}^{0}}\) là tứ giác nội tiếp.

+) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng để suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đó chứng minh đẳng thức đề bài yêu cầu.

Giải chi tiết

1. \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}={{90}^{0}}\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow \widehat{NMD}=\widehat{NCD}={{90}^{0}}\)

Do đó tứ giác MNCD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng \({{180}^{0}}\) )

2. Xét hai tam giác AMD và BCD có \(\widehat{AMD}=\widehat{BCD}={{90}^{0}}\) ,\(\widehat{ADM}=\widehat{BDC}\) (đối đỉnh) Nên \(\Delta AMD\sim \Delta BCD\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BD}\Rightarrow AM.BD=AD.BC\)

+) Xét tam giác NAC và NBM có: \(\widehat{CNA}\) chung \(\widehat{NAC}=\widehat{NBM}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung NC)

Suy ra \(\Delta NAC\sim \Delta NBM\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{NA}{NB}=\frac{NC}{NM}\)(2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

+) Xét tam giác NAB và NCM có: \(\widehat{ANB}\) chung \(\frac{NA}{NB}=\frac{NC}{NM}\)(cmt)

Suy ra \(\Delta NAB\sim \Delta NCM\left( c.g.c \right)\) \(\Rightarrow \widehat{NAB}=\widehat{NCM}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{NCM}=\widehat{NDM}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung NM) suy ra\(\widehat{NAB}=\widehat{NDM}\)

Vì tứ giác AMDI nội tiếp nên \(\widehat{NAB}+\widehat{MDI}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{NDM}+\widehat{MDI}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{NDI}={{180}^{0}}\)

Vậy N, D, I thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link