Cho biết \(F\left( x \right)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2x-\frac{1}{x}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x

Câu hỏi số 255242:

Thông hiểu

Cho biết \(F\left( x \right)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2x-\frac{1}{x}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)=\frac{{{\left( {{x}^{2}}+a \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}}.\) Tìm nguyên hàm của \(g\left( x \right)=x\cos ax.\)

A. \(x\sin x-\cos x+C.\)

B. \(\frac{1}{2}x\sin 2x-\frac{1}{4}\cos 2x+C.\)

C. \(x\sin x+\cos x+C.\)

D. \(\frac{1}{2}x\sin 2x+\frac{1}{4}\cos 2x+C.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255242

Phương pháp giải

+) Ta có: \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right)\Rightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right)\Rightarrow \) tìm giá trị của \(a\Rightarrow g\left( x \right).\)

+) Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của \(g\left( x \right).\)

Giải chi tiết

Ta có: \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right)\Rightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right).\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + 2x - \frac{1}{x}} \right)'} = \frac{{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4} + 2a{x^2} + {a^2}}}{{{x^2}}}\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} = {x^2} + 2a + \frac{{{a^2}}}{{{x^2}}}\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a = 2\\
\frac{{{a^2}}}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
a = \pm 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1.\\
\Rightarrow g\left( x \right) = x\cos x.\\
\Rightarrow I = \int {g\left( x \right)dx = \int {x\cos xdx.} }
\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \cos xdx
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {\mathop{\rm sinx}\nolimits}
\end{array} \right..\)

\(\Rightarrow I=x\operatorname{sinx}-\int{\sin xdx=x\sin x+\cos x+C.}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.