Cho tam giác ABC có \(\widehat{BAC}={{60}^{0}};AC=b,AB=c\ \ (b>c).\) Đường kính EF của đường tròn

Câu hỏi số 255706:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có \(\widehat{BAC}={{60}^{0}};AC=b,AB=c\ \ (b>c).\) Đường kính EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M (E thuộc cung lớn BC). Gọi I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC. Gọi H, K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường AB và AC.

a) Chứng minh các tứ giác AEIJ và CMJE nội tiếp và EA.EM = EC. EI.

b) Chứng minh I, J, M thẳng hàng và IJ vuông góc với HK.

c) Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255706

Phương pháp giải

+) Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng \({{180}^{0}}\) là tứ giác nội tiếp.

+) Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

+) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng để từ đó suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, chứng minh đẳng thức đề bài yêu cầu.

Giải chi tiết

Vì \(\widehat{AIE}+\widehat{\text{AJ}E}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) tứ giác AIEJ nội tiếp.

Vì \(\widehat{CJE}=\widehat{CME}={{90}^{0}}\Rightarrow \)tứ giác CMJE nội tiếp (hai góc

cùng nhìn cạnh EC).

Vì \(\widehat{IAE}={{180}^{0}}-\widehat{BAE}=\widehat{BCE}=\widehat{MCE}\) (góc ngoài của tứ

giác nội tiếp).

Và \(\widehat{AIE}=\widehat{CME}={{90}^{0}}.\)

\(\begin{align} \Rightarrow \Delta AIE\sim \Delta CME(g.g) \\ \Rightarrow \frac{EA}{EC}=\frac{EI}{EM}\Rightarrow EA.EM=EI.EC\left( dpcm \right). \\ \end{align}\)

b) Tứ giác IEMB có: \(\widehat{BIE}+\widehat{EMB}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\)

\(\Rightarrow \)Tứ giác IEMB nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{IEM}+\widehat{MBI}={{180}^{0}}.\) (tổng hai góc

đối diện)

Do tứ giác ABCE nội tiếp nên: \(\widehat{AEC}+\widehat{CBA}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{IEM}=\widehat{AEC}\) (cùng bù với góc ABC).

\(\begin{align} \Rightarrow \widehat{IEA}+\widehat{AEM}=\widehat{AEM}+\widehat{MEC} \\ \Rightarrow \widehat{IEA}=\widehat{MEC}. \\ \end{align}\)

Mà tứ giác IEJA nội tiếp nên: \(\widehat{IEA}=\widehat{\text{IJ}A}\) (cùng nhìn đoạn IA).

Tứ giác EJMC nội tiếp nên: \(\widehat{MEC}=\widehat{MJC}\Rightarrow \widehat{\text{IJ}A}=\widehat{MJC}\)

Lại có A, J, C thẳng hàng nên I, J, M thẳng hàng.

Tương tự có M, H, K thẳng hàng.

Xét tam giác EFC có EF là đường kính hình tròn ngoại tiếp tam giác do đó:

\(\widehat{ECF}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{\text{ECJ}}+\widehat{JCF}={{90}^{0}}\)

Mặt khác:

\(\begin{align} \widehat{\text{ACJ}}+\widehat{KFC}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{\text{ECJ}}=\widehat{KFC} \\ \Rightarrow \widehat{JME}=\widehat{KMC} \\ \widehat{EMK}+\widehat{KMC}=\widehat{EMC}={{90}^{0}} \\ \Rightarrow \widehat{EMK}+\widehat{JME}=\widehat{JMK}={{90}^{0}} \\ \Rightarrow IK\bot HK\left( dpcm \right). \\ \end{align}\)

c) Áp dụng định lý cos và sin trong tam giác ta thu được:

\(\begin{align} B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC-\sin \widehat{BAC} \\ \Rightarrow B{{C}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-bc\sqrt{3} \\ \end{align}\)

Theo định lý sin ta lại có:

\(\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2R\Rightarrow R=\frac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-bc\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link