Chứng minh biểu thức \(S={{n}^{3}}{{(n+2)}^{2}}+(n+1)({{n}^{3}}-5n+1)-2n-1\) chia hết cho 120 với n là số

Câu hỏi số 255707:

Vận dụng cao

Chứng minh biểu thức \(S={{n}^{3}}{{(n+2)}^{2}}+(n+1)({{n}^{3}}-5n+1)-2n-1\) chia hết cho 120 với n là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255707

Phương pháp giải

+) Biến đổi biểu thức S.

+) Sử dụng tính chất chia hết.

Giải chi tiết

Khai triển giá trị của S ra ta được:

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;\;S = {n^3}{(n + 2)^2} + (n + 1)({n^3} - 5n + 1) - 2n - 1\\
\Leftrightarrow S = {n^3}\left( {{n^2} + 4n + 4} \right) + {n^4} - 5{n^2} + n + {n^3} - 5n + 1 - 2n - 1\\
\Leftrightarrow S = {n^5} + 5{n^4} + 5{n^3} - 5{n^2} - 6n\\
\Leftrightarrow S = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3).
\end{array}\)

Do đây là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp.

Cứ 3 số tự nhiên liên tiếp thì sẽ có 1 số chia hết cho 3 nên 3 là ước của S.

Cứ 5 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 5 nên 5 là ước của S.

4 trong 5 số của S sẽ có đầy đủ số dư khi chia cho 4 và có dạng: 4k; 4k + 1; 4k + 2; 4k + 3 do đó ta có ngay: \(4k\left( {4k + 2} \right) = 8k\left( {k + 1} \right)\) và chia hết cho 8.

3 số 3, 5, 8 đôi một nguyên tố cùng nhau và \(3.5.8=120.\)

Do đó S sẽ chia hết cho 120.

Ta có điều phải chứng minh

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link