Cho phương trình \({{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x-{{m}^{2}}+m-1=0\,\,\,\left( 1 \right)\) a) Giải phương trình

Câu hỏi số 257480:

Vận dụng

Cho phương trình \({{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x-{{m}^{2}}+m-1=0\,\,\,\left( 1 \right)\)

a) Giải phương trình với \(m=-1\).

b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Giả sử hai nghiệm là \({{x}_{1}};\,\,{{x}_{2}}\,\,\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\), khi đó tìm m để \(\left| {{x}_{2}} \right|-\left| {{x}_{1}} \right|=2\)

A. a) \(x=-3\) và \(x=7.\)

b) \(m\in \left\{ -1;5 \right\}\)

B. a) \(x=-3\) và \(x=1.\)

b) \(m\in \left\{ -3;3 \right\}\)

C. a) \(x=-2\) và \(x=1.\)

b) \(m\in \left\{ -1;3 \right\}\)

D. a) \(x=-3\) và \(x=1.\)

b) \(m\in \left\{ -1;3 \right\}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:257480

Phương pháp giải

a) Thay \(m=-1\) và giải phương trình bậc hai.

b) Chứng minh \(\Delta >0\,\,\forall m\Rightarrow \) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Sử dụng định lí Vi-et: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.\)

Giải chi tiết

a) Thay \(m=-1\), khi đó phương trình có dạng

\(\begin{array}{l}
{x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x + 3x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 3\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - 3
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy với \(m=-1\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x=-3\) và \(x=1.\)

b) Ta có: \(\Delta ={{\left( m-1 \right)}^{2}}-4\left( -{{m}^{2}}+m-1 \right)={{\left( m-1 \right)}^{2}}+4\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)\) Vì \({{m}^{2}}-m+1={{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0\,\,\forall m;\,\,{{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall m\Rightarrow \Delta >0\,\,\forall m\).

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, giả sử hai nghiệm đó là \({{x}_{1}};\,\,{{x}_{2}}\,\,\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\), theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m-1 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}+m-1 \\ \end{align} \right.\)

Theo đề bài ta có: \(\left| {{x}_{2}} \right|-\left| {{x}_{1}} \right|=2\Leftrightarrow {{\left( \left| {{x}_{2}} \right|-\left| {{x}_{1}} \right| \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|=4\,\,\,\left( * \right)\)

Vì \({{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}+m-1=-\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)<0\,\,\forall m\Rightarrow \left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|=-{{x}_{1}}{{x}_{2}}.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2{x_1}{x_2} = 4\\
\Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m - 1 = 2\\
m - 1 = - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(m\in \left\{ -1;3 \right\}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link