Cho tam giác ABC có ba góc nhọn \(\left( AB<AC \right)\), dựng AH vuông góc với BC tại điểm H. Gọi

Câu hỏi số 257482:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn \(\left( AB<AC \right)\), dựng AH vuông góc với BC tại điểm H. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm H trên AB và AC. Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại điểm D. Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính CD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt nửa đường tròn trên tại điểm E.

a) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\widehat{EBM}=\widehat{DNH}\).

c) Chứng minh \(DM.DN=DB.DC\).

d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE. Chứng minh \(OE\bot DE\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:257482

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác AMHN có tổng hai góc đối bằng 1800.

b) Chứng minh hai góc \(\widehat{EBM};\widehat{DNH}\) cùng bằng góc \(\widehat{BAH}\).

c) Chứng minh tam giác DMB và DCN đồng dạng.

d) Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm E.

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác AMHN có: \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{AMH}+\widehat{ANH}={{180}^{0}}\Rightarrow AMHN\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).

b) AMHN là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow \widehat{DNH}=\widehat{BAH}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MH)

Ta có \(AH\bot CD;\,\,BE\bot CD\Rightarrow AH//BE\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{EBM}\) (so le trong)

\(\Rightarrow \widehat{EBM}=\widehat{DNH}\ \ \left( =\widehat{BAH} \right).\)

c) Ta có \(\widehat{DMB}=\widehat{AMN}\) (đối đỉnh) \(\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\) (hai góc nội tiếp của tứ giác AMHN cùng chắn cung AN)

Lại có \(\widehat{AHN}=\widehat{ACH}\) (cùng phụ với \(\widehat{HAC}\)) \(\Rightarrow \widehat{DMB}=\widehat{ACH}=\widehat{NCD}\)

Xét tam giác DMB và DNC có : \(\widehat{NDC}\) chung \(\widehat{DMB}=\widehat{NCD}\,\,\left( cmt \right)\) \(\Rightarrow \Delta DMB\backsim \Delta DCN\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{DM}{DC}=\frac{DB}{DN}\Rightarrow DM.DN=DB.DC\,\,\,\left( 1 \right)\)

d) Ta có \(\widehat{CED}={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow \Delta CDE\) vuông tại E.

Xét tam giác DBE và tam giác DEC có :

\(\begin{align} & \widehat{DBE}=\widehat{DEC}={{90}^{0}} \\ & \widehat{EDC}\ \ chung \\ & \Rightarrow \Delta DBE\backsim \Delta DEC\,\,\left( g.g \right) \\ & \Rightarrow \frac{DB}{DE}=\frac{DE}{DC}\Rightarrow DB.DC=D{{E}^{2}}\,\,\,\left( 2 \right). \\ \end{align}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow D{{E}^{2}}=DM.DN\Rightarrow \frac{DM}{DE}=\frac{DE}{DN}\)

Xét tam giác DME và DEN có :

\(\begin{align} & \widehat{EDN}\ \ chung \\ & \frac{DM}{DE}=\frac{DE}{DN} \\ \end{align}\) \(\Rightarrow \Delta DME\backsim \Delta DEN\,\,\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{DEM}=\widehat{DNE}\) (hai góc tương ứng).

Mà góc \(\widehat{DNE}\) là góc nội tiếp chắn cung EM của đường tròn tâm O. \(\widehat{DEM}\) ở vị trí góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung EM.

\(\Rightarrow \) DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm E. \(\Rightarrow OE\bot DE\,\,\,\left( dpcm \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link