Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố định. H là điểm cố định thuộc OA (H không trùng

Câu hỏi số 257605:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố định. H là điểm cố định thuộc OA (H không trùng với O và A). Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O tại C và D. Gọi K là điểm tùy ý thuộc cung lớn CD (K không trùng với các điểm C, D và B). Gọi I là giao điểm của AK và CD.

a) Chứng minh tứ giác HIKB nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh \(AI.AK=AH.AB\)

c) Chứng minh khi điểm K thay đổi trên cung lớn CD thuộc đường tròn tâm O thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KCI luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:257605

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác HIKB có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh \(\Delta AHI\backsim \Delta AKB\)

c) Dựng IE // AB \(\left( E\in BC \right)\), chứng minh tứ giác ICKE là tứ giác nội tiếp và suy ra tâm đường tròn nội tiếp tam giác KCI luôn thuộc đường thẳng cố định.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\widehat{IKB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\Rightarrow \widehat{IKB}={{90}^{0}}\).

\(CD\bot AB\Rightarrow \widehat{IHB}={{90}^{0}}\).

Xét tứ giác HIKB có \(\widehat{IKB}+\widehat{IHB}={{180}^{0}}\Rightarrow HIKB\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Xét hai tam giác vuông AHI và AKB có:

\(\widehat{AHI}=\widehat{AKB}={{90}^{0}}\)

\(\widehat{KAB}\) chung.

\(\Rightarrow \Delta AHI\backsim \Delta AKB\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AH}{AK}=\frac{AI}{AB}\Rightarrow AI.AK=AH.AB\)

c) Dựng IE // AB \(\left( E\in BC \right)\) ta có: \(\widehat{CEI}=\widehat{CBA}\) (so le trong).

Lại có \(\widehat{CBA}=\widehat{CKI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

\(\Rightarrow \widehat{CEI}=\widehat{CKI}\Rightarrow \) Tứ giác ICKE là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).

\(\Rightarrow \) Đường tròn ngoại tiếp tam giác KCI chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ICKE.

Ta có \(\widehat{CIE}={{90}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác ICKE nội tiếp đường tròn tâm J, với J là trung điểm của CE và \(J\in BC\) cố định.

Vậy khi K thay đổi trên cung lớn CD thuộc đường tròn tâm O thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KCI luôn thuộc BC cố định.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link