Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(AB=a;BC=2\text{a}\text{.}\) Tam giác

Câu hỏi số 258505:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(AB=a;BC=2\text{a}\text{.}\) Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), mặt phẳng \(\left( SAG \right)\) tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}\). Tính thể tích tứ diện \(ACGS\) bằng

A. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{36}\cdot \)

B. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{18}\cdot \)

C. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}\cdot \)

D. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}\cdot \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258505

Phương pháp giải

Dựng hình, xác định góc giữa hai mặt phẳng, tính chiều cao và xác định thể tích tứ diện

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) suy ra \(\Delta ABM\) vuông cân tại \(B\).

Và \(I\) là trung điểm \(AM\Rightarrow AI=\frac{AM}{2}=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{M}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \)

Lại có \(K\) là trung điểm \(AI\Rightarrow HK=\frac{BI}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}\cdot \) Suy ra \(\widehat{\left( SAG \right);\left( ABC \right)}=\widehat{\left( HK;SK \right)}=\widehat{SKH}={{60}^{0}}.\)

Tam giác \(SHK\) vuông tại \(H,\) có \(SH=HK.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}.\)

Khi đó, thể tích \({{V}_{SABC}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.a.2a.\frac{a\sqrt{6}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}\cdot \)

Dựa vào tam giác ABC vuông tại B và có trọng tâm G.

Ta chứng minh được: \({{S}_{ACG}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.\) \(\Rightarrow {{V}_{S.ACG}}=\frac{1}{3}\cdot {{V}_{S.ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{36}\cdot \)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.