1) Giả sử n là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện : \({n^2} + n + 3\) là số

Câu hỏi số 259199:

Thông hiểu

1) Giả sử n là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện : \({n^2} + n + 3\) là số nguyên tố. Chứng minh rằng n chia 3 dư 1 và \(7{n^2} + 6n + 2017\) không phải là số chính phương.

2) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn: \(2{x^2} + 4{y^2} - 4xy + 2x + 1 = 2017.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259199

Phương pháp giải

1) Chứng minh \(7{n^2} + 6n + 2017 \equiv 2\,\,(\bmod 3)\)

Nhóm các số hạng thích hợp để sử dụng hằng đẳng thức, tách 2017 thành tổng hai bình phương.

Giải chi tiết

1) Nếu n chia 3 dư 1, đặt \(n = 3k + 1 \Rightarrow {n^2} = {\left( {3k + 1} \right)^2} = 9{k^2} + 6k + 1\) thì ta có ngay \({n^2}\) chia 3 dư 1.

\( \Rightarrow 7{n^2} + 6n + 2017 \equiv 2\,\,(\bmod 3)\)

Một số chính phương bất kì thì không thể chia 3 dư 2.

Do đó ta có điều phải chứng minh.

2) Ta có ngay:

\(\eqalign{ & 2{x^2} + 4{y^2} - 4xy + 2x + 1 = 2017 \cr & \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4xy + 4{y^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 2017 \cr & \Leftrightarrow {(x - 2y)^2} + {(x + 1)^2} = 2017 = {9^2} + {44^2} \cr & \Rightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ \left| {x + 1} \right| = 9 \cr \left| {x - 2y} \right| = 44 \cr} \right. \cr \left\{ \matrix{ \left| {x + 1} \right| = 44 \cr \left| {x - 2y} \right| = 9 \cr} \right. \cr} \right. \cr} \)

Với TH1 ta có

Nếu x = 8 thì: \(\left| {8 - 2y} \right| = 44 \Rightarrow \left[ \matrix{ y = - 18 \cr y = 26 \cr} \right..\)

Nếu \(x = - 10\) thì: \(\left| { - 10 - 2y} \right| = 44 \Rightarrow \left[ \matrix{ y = - 27 \cr y = 17 \cr} \right..\)

Với TH2 ta có:

Nếu x = 43 thì: \(\left| {43 - 2y} \right| = 9 \Rightarrow \left[ \matrix{ y = 17 \cr y = 26 \cr} \right..\)

Nếu \(x = - 45\) thì: \(\left| { - 45 - 2y} \right| = 9 \Rightarrow \left[ \matrix{ y = - 27 \cr y = - 18 \cr} \right..\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên là: (8; -18); (8; 26); (-10; -27); (-10; 17); (43; 17); (43; 26); (-45; -27); (-45; -18).

Chú ý khi giải

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link