1) Giải phương trình: \((x - 1)(x + 2) + 2\sqrt {{x^2} + x + 1} = 0\). 2) Cho x, y là các

Câu hỏi số 259198:

Nhận biết

1) Giải phương trình: \((x - 1)(x + 2) + 2\sqrt {{x^2} + x + 1} = 0\).

2) Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\left| {{{x + y} \over 2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {{{x + y} \over 2} + \sqrt {xy} } \right| = \left| x \right| + \left| y \right|.\)

Đẳng thức trên còn đúng hay không nếu x, y là các số thực âm? Tại sao?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259198

Phương pháp giải

1) Chuyển vế, bình phương hai vế sau đó đưa phương trình về dạng tích.

2) Sử dụng các hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2};\,\,{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2};\,\,\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\).

Giải chi tiết

1) Ta có phương trình đã cho tương đương với:

\(\eqalign{ & \left( {1 - x} \right)\left( {x + 2} \right) = 2\sqrt {{x^2} + x + 1} \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left( {1 - x} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0 \cr ({x^2} - 2x + 1)({x^2} + 4x + 4) = 4({x^2} + x + 1) \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2 \le x \le 1 \cr {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 4{x^3} - 8{x^2} + 4x + 4{x^2} - 8x + 4 - 4{x^2} - 4x - 4 = 0 \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2 \le x \le 1 \cr {x^4} + 2{x^3} - 7{x^2} - 8x = 0 \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2 \le x \le 1 \cr x(x + 1)({x^2} + x - 8) = 0 \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2 \le x \le 1 \cr \left[ \matrix{ x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right) \cr x = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right) \cr x = {{ - 1 \pm \sqrt {33} } \over 2}\,\,\,\left( {ktm} \right) \cr} \right. \cr} \right. \cr} \)

Phương trình đã cho có 2 nghiệm là \(x = 0;\,\,x = - 1\).

2) Vì x, y là các số thực dương nên:

\(\eqalign{ & \left| {{{x + y} \over 2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {{{x + y} \over 2} + \sqrt {xy} } \right| = \left| {{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}} \over 2}} \right| + \left| {{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}} \over 2}} \right| \cr & = {{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}} \over 2} + {{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}} \over 2} = x + y = \left| x \right| + \left| y \right|. \cr} \)

Đặt: \(x = - 1;\,\,y = - b\) với a, b không âm.

Ta có:

\(\eqalign{ & \left| {{{x + y} \over 2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {{{x + y} \over 2} + \sqrt {xy} } \right| = \left| {{{ - a - b} \over 2} - \sqrt {ab} } \right| + \left| {{{ - a - b} \over 2} + \sqrt {ab} } \right| = \cr & \left| {{{ - a - 2\sqrt {ab} - b} \over 2}} \right| + \left| {{{ - a + 2\sqrt {ab} - b} \over 2}} \right| \cr & \Rightarrow \left| {{{ - a - 2\sqrt {ab} - b} \over 2}} \right| + \left| {{{ - a + 2\sqrt {ab} - b} \over 2}} \right| = \left| {{{ - {{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 2}} \right| + \left| {{{ - {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over 2}} \right| \cr & = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 2} + {{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over 2} = a + b = \left| a \right| + \left| b \right|. \cr} \)

Vậy đẳng thức trên vẫn đúng nếu x, y âm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link