1) Cho 2 điểm phân biệt A, B nằm trong góc nhọn \(\widehat {xOy}\) sao cho \(\widehat {xOA} =

Câu hỏi số 259203:

Vận dụng cao

1) Cho 2 điểm phân biệt A, B nằm trong góc nhọn \(\widehat {xOy}\) sao cho \(\widehat {xOA} = \widehat {yOB}.\) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tia Ox và Oy và P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên các tia Ox và Oy. Giả sử M, N, P, Q đôi một phân biệt. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

2) Cho tam giác ABC không cân, có ba góc nhọn. Một đường tròn đi qua B, C cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi M, N là trung điểm của BD và CE.

a) Chứng minh rằng các tam giác ABD, ACE đồng dạng với nhau và \(\widehat {MAB} = \widehat {NAC}.\)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB, K là hình chiếu vuông góc của N lên AC và I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng tam giác IHK cân.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259203

Phương pháp giải

1) Chứng minh tứ giác MNQP có hai góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau.

2) a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc, từ đó chứng minh \(\Delta MAB \sim \Delta NCD\), suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

b) Gọi P là hình chiếu vuông góc của M lên AC, Q là hình chiếu vuông góc của N lên AB. Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác HKPQ.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\eqalign{ & \Delta OAM \sim \Delta OBQ(g.g) \Rightarrow {{OM} \over {OQ}} = {{OA} \over {OB}}. \cr & \Delta OAN \sim \Delta OBP(g.g) \Rightarrow {{ON} \over {OP}} = {{OA} \over {OB}}. \cr & \Rightarrow {{ON} \over {OP}} = {{OM} \over {OQ}} \cr} \)

Xét tam giác ONP và OMQ có : \(\widehat O\) chung, \({{ON} \over {OP}} = {{OM} \over {OQ}} \Rightarrow \Delta ONP \sim \Delta OMQ\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {MPN} = \widehat {MQN}\)

Suy ra tứ giác MNQP là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).

a) Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp nên : \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}.\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ED).

Và lại có : \(\widehat {BAD} = \widehat {EAC}\) ( góc chung)

Suy ra : \(\Delta ABD \sim \Delta ACE(g.g) \Rightarrow {{AB} \over {AC}} = {{BD} \over {CD}} = {{BM} \over {CN}}\)

Xét tam giác MAB và NCD có : \( \Rightarrow {{AB} \over {AC}} = {{BM} \over {CN}}\,\,\left( {cmt} \right);\,\,\widehat {ABD} = \widehat {ACE} \Rightarrow \Delta MAB \sim \Delta NCD\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta MAB \sim \Delta NAC(c.g.c) \Rightarrow \widehat {MAB} = \widehat {NAC}.\)

b) Gọi P là hình chiếu vuông góc của M lên AC, Q là hình chiếu vuông góc của N lên AB. Theo câu 1 ta có 4 điểm H, K, P, Q cùng thuộc 1 đường tròn. Hơn nữa, tâm của đường tròn đó là giao điểm các đường trung trực của các đoạn thẳng PK, QH.

Gọi R và S lần lượt là trung điểm của PK và QH ta có IR là đường trung bình của hình thang MPKN nên IR // MP // KN \( \Rightarrow IR \bot PK\) tại \(R \Rightarrow IR\) là trung trực của PK.

Tương tự ta chứng minh được IS là trung trực của QH.

Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp HKPQ \( \Rightarrow IH = IK\). Do đó tam giác IHK cân tại I.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link