Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2018. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 259657:

Vận dụng cao

Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2018. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a}{a+\sqrt{2018a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2018b+ac}}+\frac{c}{c+\sqrt{2018c+ab}}\)

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259657

Phương pháp giải

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Thay a + b + c = 2018 vào mỗi phân thức ta được

\(\begin{array}{l}
\frac{a}{{a + \sqrt {2018a + bc} }} + \frac{b}{{b + \sqrt {2018b + ac} }} + \frac{c}{{c + \sqrt {2018a + ab} }}\\
= \frac{a}{{a + \sqrt {(a + b + c)a + bc} }} + \frac{b}{{b + \sqrt {(a + b + c)b + ac} }} + \frac{c}{{c + \sqrt {(a + b + c)c + ab} }}\\
= \frac{a}{{a + \sqrt {ab + ({a^2} + bc) + ac} }} + \frac{b}{{b + \sqrt {ab + ({b^2} + ac) + bc} }} + \frac{c}{{c + \sqrt {ac + ({c^2} + ba) + bc} }}
\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :

\(ab+({{a}^{2}}+bc)+ac\ge ab+2a\sqrt{bc}+ac=ab+2\sqrt{abac}+ac={{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})}^{2}}\)

Tương tự ta được : \(\left\{ \begin{align} & ab+\left( {{b}^{2}}+ac \right)+bc\ge {{\left( \sqrt{ab}+\sqrt{bc} \right)}^{2}} \\ & ac+\left( {{c}^{2}}+ba \right)+bc\ge {{\left( \sqrt{ac}+\sqrt{bc} \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức ta được :

\(VT\ge \sum \frac{a}{a+\sqrt{{{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})}^{2}}}}=\sum \frac{a}{a+(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})}=\sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, khi \(a=b=c=\frac{2018}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link