Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A, B (O và O’ thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A, B (O và O’ thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AB). Tiếp tuyến chung gần B của 2 đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (O), (O’) tại M, N (khác A). Các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E. Gọi P, Q là giao điểm của MN với BC và BD. Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng AE vuông góc với CD.
b) Tứ giác BECD nội tiếp.
Tam giác EPQ là tam giác cân
Quảng cáo
+) Chứng minh CD là đường trung trực của đoạn AE thì CD vuông góc với AE.
+) Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
a) Ta có :
\(\widehat{ECD}=\widehat{AMC}=\widehat{ACE}\)
Chứng minh tương tự ta có : \(\widehat{CDE}=\widehat{CDA}\)
Từ đây suy ra CD là trung trực của AE.
b) Dễ thấy :
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BCD} = \widehat {BAC}\\
\widehat {BDC} = \widehat {BAD}
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {CBD} = {180^0} - \widehat {BCD} - \widehat {BDC}\\
\Rightarrow \widehat {CBD} = {180^0} - \widehat {CAD} = {180^0} - \widehat {CED}
\end{array}\)
\(\Rightarrow BECD\) là tứ giác nội tiếp.
c) Gọi K là giao điểm của AB và CD
Nhận thấy :
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta BCK \sim \Delta CAK \Rightarrow K{C^2} = KB.KA\\
\Delta DBK \sim \Delta ADK \Rightarrow K{D^2} = KB.KA
\end{array} \right. \Rightarrow KC = KD\\
CD//PQ \Rightarrow \frac{{KD}}{{AQ}} = \frac{{KC}}{{AP}} \Rightarrow AQ = QP
\end{array}\)
Mà \(AE\bot PQ\Rightarrow \) Tam giác EPQ cân tại E
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
