Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=a\). \(M\) là một điểm di động trên đoạn
Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=a\). \(M\) là một điểm di động trên đoạn \(AB\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \({A}'\) trên đường thẳng \(CM\). Tính độ dài đoạn thẳng \(BH\) khi tam giác \(AHC\) có diện tích lớn nhất.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Dựng hình, xác định giá trị lớn nhất của tam giác
Ta có \(A{A}'\bot \left( ABC \right)\) nên \(A{A}'\bot CM\).
Mặt khác \({A}'H\bot CM\).
Do đó \(CM\bot \left( A{A}'H \right)\). Suy ra \(CM\bot AH\).
Vậy \(H\) còn là hình chiếu của \(A\) trên \(CM\).
Ta có \({{S}_{AHC}}=\frac{1}{2}AH.HC\le \frac{1}{2}.\frac{1}{2}\left( A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}} \right)=\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{2}}}{4}\). (bất đẳng thức Cô-si)
Dấu bằng xảy ra khi \(AH=HC\), tức là khi \(\widehat{ACM}=45{}^\circ \).
Vậy tam giác \(AHC\) có diện tích lớn nhất khi \(M\) ở vị trí sao cho \(\widehat{ACM}=45{}^\circ \).
Khi đó \(HC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\) và \(\widehat{HCB}=15{}^\circ \).
Trong tam giác \(HBC\): \(B{{H}^{2}}=H{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-2HC.BC.\cos \widehat{HCB}\) \(\begin{align} & =H{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-2HC.BC.\cos {{15}^{0}} \\ & =\frac{{{a}^{2}}}{2}+{{a}^{2}}-2.\frac{a\sqrt{2}}{2}.a.\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}=\frac{\left( 4-2\sqrt{3} \right){{a}^{2}}}{4}\Rightarrow BH=\frac{a\left( \sqrt{3}-1 \right)}{2}. \\ \end{align}\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
