Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( 1;2;4 \right)\), \(B\left( 0;0;1

Câu hỏi số 260016:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( 1;2;4 \right)\), \(B\left( 0;0;1 \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4.\) Mặt phẳng \(\left( P \right):ax+by+cz+3=0\) đi qua \(A\), \(B\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính \(T=a+b+c\).

A. \(T=-\frac{3}{4}\).

B. \(T=\frac{33}{5}\).

C. \(T=\frac{27}{4}\).

D. \(T=\frac{31}{5}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260016

Phương pháp giải

Dựng hình, biện luận vị trí điểm để bán kính đường tròn nhỏ nhất

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;1;0 \right)\) và bán kính \(R=2\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(B\), có một VTCP là \(\overrightarrow{BA}=\left( 1;2;3 \right)\)\(\Rightarrow \)\(AB:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=2t \\ & z=1+3t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow{IB}=\left( 1;-1;1 \right)\)\(\Rightarrow IB=\sqrt{3}<R\)\(\Rightarrow \left( P \right)\) luôn cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) Với \(\left( C \right)\) có bán kính nhỏ nhất \(\Leftrightarrow d\left( I,\left( P \right) \right)\) lớn nhất.

Gọi \(H\), \(K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(\left( P \right)\) và \(AB\), ta có \(d\left( I,\left( P \right) \right)=IH\le IK\)

Do đó \(d\left( I,\left( P \right) \right)\) lớn nhất \(\Leftrightarrow H\equiv K\) hay mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(IK\)

Tìm \(K:K\in AB\Rightarrow K\left( t;2t;1+3t \right)\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\left( t+1;2t-1;3t+1 \right)\)

Ta có \(IK\bot AB\Leftrightarrow \overrightarrow{IK}.\overrightarrow{AB}=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{7}\)\(\Rightarrow \overrightarrow{IK}\left( \frac{6}{7};-\frac{9}{7};\frac{4}{7} \right)=\frac{1}{7}\left( 6;-9;4 \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( 0;0;1 \right)\), có một VTPT là \(\overrightarrow{n}=\left( 6;-9;4 \right)\) \(\Rightarrow \)\(\left( P \right):6x-9y+4z-4=0\Leftrightarrow -\frac{9}{2}x+\frac{27}{4}y-3z+3=0\).

Vậy \(T=-\frac{9}{2}+\frac{27}{4}-3=-\frac{3}{4}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.