Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(1\). Trên các cạnh \(AB\) và \(CD\) lần lượt lấy các

Câu hỏi số 260019:

Vận dụng cao

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(1\). Trên các cạnh \(AB\) và \(CD\) lần lượt lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{NC}=-2\overrightarrow{ND}\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(MN\) và song song với \(AC\) chia khối tứ diện \(ABCD\) thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh \(A\) có thể tích là \(V\). Tính \(V\).

A. \(V=\frac{\sqrt{2}}{18}\).

B. \(V=\frac{11\sqrt{2}}{216}\).

C. \(V=\frac{7\sqrt{2}}{216}\).

D. \(V=\frac{\sqrt{2}}{108}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260019

Phương pháp giải

Xác định mặt phẳng thiết diện, chia nhỏ các khối đa diện và áp dụng công thức tỉ số thể tích

Giải chi tiết

Từ \(N\) kẻ \(NP\text{//}AC\), \(N\in AD\).

Qua \(M\) kẻ \(MQ\text{//}AC\), \(Q\in BC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(MPNQ\)

Ta có \({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}AH.{{S}_{ABCD}}=\frac{\sqrt{2}}{12}\) và \(V={{V}_{ACMPNQ}}={{V}_{AMPC}}+{{V}_{MQNC}}+{{V}_{MPNC}}\)

Lại có \({{V}_{AMPC}}=\frac{AM}{AB}.\frac{AP}{AD}.{{V}_{ABCD}}\)\(=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}{{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABCD}}\) \({{V}_{MQNC}}=\frac{1}{2}{{V}_{AQNC}}=\frac{1}{2}\frac{CQ}{CB}.\frac{CN}{CD}.{{V}_{ABCD}}\)\(=\frac{1}{2}\frac{1}{2}.\frac{2}{3}{{V}_{ABCD}}=\frac{1}{2}{{V}_{ABCD}}\) \({{V}_{MPNC}}=\frac{2}{3}{{V}_{MPCD}}=\frac{2}{3}.\frac{1}{3}{{V}_{MACD}}\)\(=\frac{2}{3}.\frac{1}{3}\frac{AM}{AB}.{{V}_{ABCD}}\)\(=\frac{2}{3}.\frac{1}{3}\frac{1}{2}{{V}_{ABCD}}=\frac{1}{9}{{V}_{ABCD}}\)

Vậy \(V=\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9} \right){{V}_{ABCD}}\)\(\Rightarrow V=\frac{11}{18}{{V}_{ABCD}}=\frac{11\sqrt{2}}{216}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.