Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\).\(M\) là một điểm
Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\).\(M\) là một điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}'}\). Cô sin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A}'MB \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Tọa độ hóa, xác định tọa độ điểm và áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Xét hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gắn hệ trục như hình vẽ quy ước \(a=1\) ( đơn vị ).
Gọi \(D\) là giao điểm của \({A}'M\) và \(AC\). Vì tam giác \({A}'{B}'{C}'\) là tam giác cân cạnh bằng \(a\) nên ta suy ra độ dài các đường trung tuyến là \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Suy ra tọa độ các điểm như hình vẽ.
Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}'}\) vậy \(\Rightarrow \Delta AD{A}'\sim \Delta CDM\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{CD}=2\Rightarrow \overrightarrow{DA}=-\,2\overrightarrow{DC}\) suy ra \(D\left( 0;\frac{2}{3};1 \right).\)
Ta có mặt phẳng \(ABC\) có phương trình \(z=1\Rightarrow \,{{\vec{n}}_{\left( ABC \right)}}=\left( 0;0;1 \right)\)
Mặt khác mặt phẳng \(\left( {A}'MB \right)\) là mặt phẳng đi qua ba điểm \({A}'\)\(,D\) và \(B\).
Ta có: \(\overrightarrow{{A}'D}=\left( 0;\frac{2}{3};1 \right)\) và \(\overrightarrow{{A}'B}=\left( \frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};1 \right)\)
\(\Rightarrow {{\text{\vec{n}}}_{\left( {A}'BM \right)}}=\left[ \overrightarrow{{A}'D},\overrightarrow{{A}'B} \right]=\left( \frac{1}{6};\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{-\sqrt{3}}{3} \right)\)
Vậy cô sin góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {A}'MB \right)\) và \(\left( ABC \right)\) là:
\(\cos \left( \widehat{\left( A'BM \right),\left( ABC \right)} \right)=\left| \cos \widehat{\left( {{{\vec{n}}}_{\left( {A}'BM \right)}},{{{\vec{n}}}_{\left( ABC \right)}} \right)} \right|=\frac{\left| \frac{-\sqrt{3}}{3} \right|}{\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{3}{4}+\frac{1}{3}}.\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{30}}{10}\).
Chọn C
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
