Có bao nhiêu số nguyên âm \(m\) để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{\cos }^{3}}x-4\cot x-\left( m+1 \right)\cos

Câu hỏi số 260374:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên âm \(m\) để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{\cos }^{3}}x-4\cot x-\left( m+1 \right)\cos x\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\pi \right)\)?

A. \(5\).

B. \(2\).

C. vô số.

D. \(3\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260374

Phương pháp giải

Tính đạo hàm và áp dụng điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng

Giải chi tiết

Ta có: \({y}'=-{{\cos }^{2}}x.\sin x+\frac{4}{{{\sin }^{2}}x}+\left( m+1 \right).\sin x={{\sin }^{3}}x+\frac{4}{{{\sin }^{2}}x}+m.\sin x\).

Hàm số đồng biến trên \(\left( 0;\pi \right)\) khi và chỉ khi \({y}'\ge 0,\ \forall x\in \left( 0;\pi \right).\)

\(\Leftrightarrow {{\sin }^{3}}x+\frac{4}{{{\sin }^{2}}x}+m.\sin x\ge 0,\ \forall x\in \left( 0;\pi \right)\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x+\frac{4}{{{\sin }^{3}}x}\ge -m,\ \forall x\in \left( 0;\pi \right)\ \ \ \ \left( 1 \right)\)

Xét hàm số: \(g\left( x \right)={{\sin }^{2}}x+\frac{4}{{{\sin }^{3}}x}\), trên khoảng \(\left( 0;\pi \right)\).

Có \({g}'\left( x \right)=2\sin x.\cos x-\frac{12\cos x}{{{\sin }^{4}}x}=2\cos x.\frac{{{\sin }^{5}}x-6}{{{\sin }^{4}}x}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}\in \left( 0;\pi \right).\)

Do đó \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow -\,m\le \underset{x\in \left( 0;\pi \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\Leftrightarrow -\,m\le 5\Leftrightarrow m\ge -\,5.\)

Kết hợp \(m\) nguyên âm nên \(m\in \left\{ -\,5;-\,4;-\,3;-\,2;-\,1 \right\}\).

Vậy có \(5\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.