Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình \(8{\sin ^2}x + \left( {m - 1} \right)\sin 2x +

Câu hỏi số 260620:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình \(8{\sin ^2}x + \left( {m - 1} \right)\sin 2x + 2m - 6 = 0\) có nghiệm?

A. 3

B. 5

C. 6

D. 2

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260620

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp giải phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,8{\sin ^2}x + \left( {m - 1} \right)\sin 2x + 2m - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 8{\sin ^2}x + 2\left( {m - 1} \right)\sin x\cos x + 2m - 6 = 0\end{array}\)

TH1: \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 \Rightarrow \) Phương trình trở thành \(8 + 2m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\).

\( \Rightarrow \) Khi \(m = - 1\) phương trình có nghiệm \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

TH2: \(\cos x \ne 0 \Rightarrow \) chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,8{\tan ^2}x + 2\left( {m - 1} \right)\tan x + \left( {2m - 6} \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2m + 2} \right){\tan ^2}x + 2\left( {m - 1} \right)\tan x + 2m - 6 = 0\end{array}\)

Khi \(m = - 1 \Rightarrow - 4\tan x - 8 = 0 \Rightarrow \tan x = - 2 \Rightarrow \) phương trình có nghiệm.

Khi \(m \ne - 1\), để phương trình có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {2m + 2} \right)\left( {2m - 6} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - 4{m^2} + 8m + 12 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 3{m^2} + 6m + 13 \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{3 - 4\sqrt 3 }}{3} \le m \le \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{3}\\m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\end{array}\)

Kết hợp các trường hợp ta có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.