Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2{m^2} - 3m + 1 = 0\) trong đó m là tham số x là

Câu hỏi số 261149:

Nhận biết

Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2{m^2} - 3m + 1 = 0\) trong đó m là tham số x là ẩn.

a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm.

b) Giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm là: \({x_1},{x_2}\). Chứng minh rằng: \(\left| {{x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}} \right| \le \frac{9}{8}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261149

Phương pháp giải

a) Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\).

b) Sử dụng định lí Vi-et \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

a) Để phương trình có nghiệm thì:

\(\Delta ' = {(m - 1)^2} - (2{m^2} - 3m + 1) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - m \le 0 \Leftrightarrow m(m - 1) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 1.\)

b) Áp dụng định lý Viet ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = 2{m^2} - 3m + 1\end{array} \right. \Rightarrow P = \left| {{x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}} \right| = \left| {2{m^2} - m - 1} \right| = 2\left| {{{\left( {m - \frac{1}{4}} \right)}^2} - \frac{9}{{16}}} \right|.\)

Do :

\(\begin{array}{l}0 \le m \le 1 \Rightarrow \frac{{ - 1}}{4} \le m - \frac{1}{4} \le \frac{3}{4} \Rightarrow {\left( {m - \frac{1}{4}} \right)^2} \le \frac{9}{{16}} \Rightarrow \left| {{{\left( {m - \frac{1}{4}} \right)}^2} - \frac{9}{{16}}} \right| = \frac{9}{{16}} - {\left( {m - \frac{1}{4}} \right)^2}\\ \Rightarrow P = 2\left[ {\frac{9}{{16}} - {{\left( {m - \frac{1}{4}} \right)}^2}} \right] \le \frac{9}{8}.\end{array}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(m = \frac{1}{4}.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link