Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

Câu hỏi số 260759:

Vận dụng cao

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: \(\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}+\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}>1.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260759

Phương pháp giải

+) Áp dụng tính chất các cạnh của tam giác để chứng minh.

Giải chi tiết

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên: \(\left\{ \begin{align} & a+b-c>0 \\ & c+b-a>0 \\ & c+a-b>0 \\ \end{align} \right..\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\begin{array}{l}
\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} > 1\\
\Leftrightarrow \frac{{c({a^2} + {b^2} - {c^2}) + a({b^2} + {c^2} - {a^2}) + b({a^2} + {c^2} - {b^2})}}{{2abc}} - 1 > 0\\
\Leftrightarrow c({a^2} + {b^2} - {c^2}) + a({b^2} + {c^2} - {a^2}) + b({a^2} + {c^2} - {b^2}) - 2abc > 0\\
\Leftrightarrow c({a^2} + {b^2} - {c^2} + 2ab) + a({b^2} + {c^2} - {a^2} - 2bc) + b({a^2} + {c^2} - {b^2} - 2ac) > 0\\
\Leftrightarrow c\left[ {{{(a + b)}^2} - {c^2}} \right] + a\left[ {{{(b - c)}^2} - {a^2}} \right] + b\left[ {{{(a - c)}^2} - {b^2}} \right] > 0\\
\Leftrightarrow c(a + b - c)(a + b + c) + a(b - c - a)(b - c + a) + b(a - c + b)(a - c - b) > 0\\
\Leftrightarrow (a + b - c)(c(a + b + c) + a(b - c - a) + b(a - c - b)) > 0\\
\Leftrightarrow (a + b - c)({c^2} - {a^2} + 2ab - {b^2}) > 0\\
\Leftrightarrow (a + b - c)(c - {(a - b)^2}) > 0\\
\Leftrightarrow (a + b - c)(c - a + b)(c + a - b) > 0.
\end{array}\)

Điều này là luôn đúng theo chứng minh ban đầu.

Vậy ta có điều phải chứng

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link