Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

Câu hỏi số 260759:

Vận dụng cao

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: \(\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}+\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}>1.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260759

Phương pháp giải

+) Áp dụng tính chất các cạnh của tam giác để chứng minh.

Giải chi tiết

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên: \(\left\{ \begin{align} & a+b-c>0 \\ & c+b-a>0 \\ & c+a-b>0 \\ \end{align} \right..\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\begin{array}{l}
\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} > 1\\
\Leftrightarrow \frac{{c({a^2} + {b^2} - {c^2}) + a({b^2} + {c^2} - {a^2}) + b({a^2} + {c^2} - {b^2})}}{{2abc}} - 1 > 0\\
\Leftrightarrow c({a^2} + {b^2} - {c^2}) + a({b^2} + {c^2} - {a^2}) + b({a^2} + {c^2} - {b^2}) - 2abc > 0\\
\Leftrightarrow c({a^2} + {b^2} - {c^2} + 2ab) + a({b^2} + {c^2} - {a^2} - 2bc) + b({a^2} + {c^2} - {b^2} - 2ac) > 0\\
\Leftrightarrow c\left[ {{{(a + b)}^2} - {c^2}} \right] + a\left[ {{{(b - c)}^2} - {a^2}} \right] + b\left[ {{{(a - c)}^2} - {b^2}} \right] > 0\\
\Leftrightarrow c(a + b - c)(a + b + c) + a(b - c - a)(b - c + a) + b(a - c + b)(a - c - b) > 0\\
\Leftrightarrow (a + b - c)(c(a + b + c) + a(b - c - a) + b(a - c - b)) > 0\\
\Leftrightarrow (a + b - c)({c^2} - {a^2} + 2ab - {b^2}) > 0\\
\Leftrightarrow (a + b - c)(c - {(a - b)^2}) > 0\\
\Leftrightarrow (a + b - c)(c - a + b)(c + a - b) > 0.
\end{array}\)

Điều này là luôn đúng theo chứng minh ban đầu.

Vậy ta có điều phải chứng

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link