Cho hình thang ABCD với 2 cạnh đáy\(BC > AD;{\rm{ }}BC = BD = 1,{\rm{ }}AB = AC,{\rm{ }}CD < 1\),

Câu hỏi số 261157:

Vận dụng

Cho hình thang ABCD với 2 cạnh đáy\(BC > AD;{\rm{ }}BC = BD = 1,{\rm{ }}AB = AC,{\rm{ }}CD < 1\), \(\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = {180^0}.\) E là điểm đối xứng của D qua đường thẳng BC.

a) Chứng minh rằng 4 điểm A, C, E, B cùng nằm trên một đường tròn và: \(\widehat {BEC} = 2\widehat {AEC}.\)

b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại K, đường thẳng BC cắt đường thẳng AE tại F. Chứng minh rằng: FA = FD và đường thẳng FD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK.

c) Tính độ dài cạnh CD.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261157

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác ACEB là tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

Dựa vào tính chất của tam giác cân và tính chất hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau.

b) Chứng minh FA = FD, FA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD và sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

c) Sử dụng định lí Ptoleme: Nếu A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ giác nội tiếp đường tròn thì \(AC.BD = AB.CD + AD.BC\).

Giải chi tiết

a) Do E đối xứng với D qua BC nên: \(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}.\)

Mặt khác:

\(\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BEC} = {180^0}\). Suy ra tứ giác ACEB là tứ giác nội tiếp.

Tam giác ABC cân tại A (gt) nên: \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\).

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {AEC};\widehat {ACB} = \widehat {BEA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {BEA} \Rightarrow \widehat {BEC} = 2.\widehat {AEC}.\)

b) Dễ dàng chứng minh được F là trung điểm của AE.

Do DE vuông góc với BC, AD // BC nên tam giác ADE vuông tại D và FD = FE = FA (Trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

Mặt khác: \(\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BDK}\) nên tứ giác AKLD là tứ giác nội tiếp.

Có: AD // BC nên: \(\widehat {ADB} = \widehat {DBC}\) (so le trong), lại có \(\widehat {CAE} = \widehat {CBE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE). Do BC là trung trực của DE nên: \(\widehat {DBC} = \widehat {CBE} \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {CAE}.\)

Góc \(\widehat {ADB}\) là góc nội tiếp chắn cung AL. Góc \(\widehat {CAE}\) nằm ở vị trí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung AL chắn cung AL.

Suy ra: FA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK, kết hợp với FA = FD nên FD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK. (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

c) Do EF là phân giác \(\widehat {BEC} \Rightarrow \frac{{FC}}{{FB}} = \frac{{CE}}{{EB}} = CE\,\,\,\left( {Do\,\,BE = BD = 1} \right).\) (Tính chất đường phân giác của góc).

Ta có tam giác: \(\Delta {\rm{AFC}} \sim \Delta {\rm{BFE}}\,\,\left( {{\rm{g}}{\rm{.g}}} \right) \Rightarrow \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{BE}}{{BF}}\)

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ACEB có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,AE.{\rm{ }}BC = AB.{\rm{ }}CE + AC.{\rm{ }}BE\\ \Leftrightarrow 2AF.1 = AC.CE + AC.BD\\ \Leftrightarrow 2AF = AC\left( {CE + 1} \right)\\ \Rightarrow \frac{2}{{1 + CE}} = \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{BE}}{{BF}} = \frac{{BC}}{{BF}} = \frac{{BF + FC}}{{BF}} = 1 + \frac{{FC}}{{BF}} = 1 + CE\\ \Rightarrow {\left( {1 + EC} \right)^2} = 2 \Rightarrow EC = \sqrt 2 - 1.\end{array}\)

Mà \(EC = CD\) (tính chất đối xứng) \( \Rightarrow CD = \sqrt 2 - 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link