Cho phương trình: \({x^2} + {y^2} + {{\rm{z}}^2} = 3xy{\rm{z}}\,\,\,\,\left( 1 \right){\rm{.}}\) Mỗi bộ số

Câu hỏi số 261158:

Vận dụng cao

Cho phương trình: \({x^2} + {y^2} + {{\rm{z}}^2} = 3xy{\rm{z}}\,\,\,\,\left( 1 \right){\rm{.}}\) Mỗi bộ số \(\left( {x;y;z} \right)\) là các số nguyên dương thỏa mãn phương trình trên được gọi là nghiệm nguyên của phương trình đã cho.

a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương có dạng \(\left( {x;y;y} \right)\) của (1).

b) Chứng minh rằng tồn tại nghiệm nguyên dương \(\left( {a;b;c} \right)\) của (1) và thỏa mãn điều kiện \(\min \left\{ {a;b;c} \right\} > 2017\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261158

Phương pháp giải

a) Sử dụng các tính chất của chia hết.

b) Giả sử a là số nhỏ nhất trong 3 số a, b, c thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3abc. \Rightarrow \min \left\{ {a;b;c} \right\} = a\)

Chứng minh \(\exists a' = a + d\,\,\left( {d > 0} \right)\) cũng thỏa mãn phương trình trên \( \Rightarrow \min \left\{ {a';b;c} \right\} > \min \left\{ {a;b;c} \right\}\).

Lặp lại quá trình trên không quá 2017 lần ta được \(\min \left\{ {a;b;c} \right\} > 2017\) .

Giải chi tiết

a) Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương là ( x; y; y). Khi đó thay vào phương trình trên ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {y^2} = 3x{y^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2{y^2} = 3x{y^2} \Leftrightarrow {x^2} = {y^2}\left( {3x - 2} \right)\\ \Rightarrow {x^2} \vdots {y^2} \Rightarrow x = ty\\ \Rightarrow {t^2}{y^2} + 2{y^2} = 3ty.{y^2} \Leftrightarrow {t^2} + 2 = 3ty \Rightarrow 2 = t\left( {3y - t} \right) \Rightarrow 2 \vdots t.\end{array}\)

Với \(t = 1\) ta suy ra \(x = y = 1.\)

Với \(t = 2\) ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\6 = 6y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)

Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên dương dạng (x ; y ; y) là \(\left( {1;1;1} \right);\,\,\left( {2;1;1} \right)\).

b) Ta có : x = 1 ; y = 2 ; z = 5 là 1 nghiệm của phương trình đã cho.

Giả sử a là số nhỏ nhất trong 3 số đã cho thỏa mãn : \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3abc.\)

Xét phương trình :

\({\left( {a + d} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = 3(a + d)bc \Rightarrow 2ad + {d^2} = 3bcd \Rightarrow d = 3b - 2a.\)

Do đó phương trình (1) có nghiệm (a’; b ; c) với a’ = a + d.

Do a < b < c nên min{ a’; b; c} > min{ a, b, c}.

Lặp lại quá trình trên không quá 2017 lần ta được min{a, b, c} > 2017.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link