Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương: \({a_1},{a_2},...,{a_{n + 2}}.\) thỏa mãn điều

Câu hỏi số 261159:

Vận dụng cao

Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương: \({a_1},{a_2},...,{a_{n + 2}}.\) thỏa mãn điều kiện: \(1 \le {a_1} < {a_2} < ..... < {a_{n + 2}} \le 3n.\) Chứng minh rằng tồn tại 2 số \({a_i},{a_j}\)\((1 \le j < i \le n + 2;i,j \in N)\) sao cho: \(n < {a_i} - {a_j} < 2n.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261159

Giải chi tiết

Với mọi số k đặt: \({b_i} = {a_i} + k \Rightarrow {a_i} - {a_j} = \left( {{a_i} + k} \right) - \left( {{a_j} + k} \right) = {b_i} - {b_j}.\)

Do đó ta có thể chọn số k sao cho: \({b_{n + 2}} = 3n\) và chuyển về xét dãy số: \(1 \le {b_1} < {b_2} < ..... < {b_{n + 2}} = 3n.\) Khi đó chỉ cần chứng minh tồn tại 2 số: \({b_i},{b_j}(1 \le j,i \le n + 2;\,j,i \in N):n < {b_i} - {b_j} < 2n.\)

Xét 2 trường hợp:

TH1: Nếu tồn tại j thuộc { 1, 2,…, n + 1} sao cho: \(n < {b_j} < 2n \to n < {b_{n + 2}} - {b_j} < 2n.\)

TH2: Với mọi j thuộc { 1, 2,…., n + 1} ta có: \({b_j}\) không thuộc: [n + 1; 2n – 1] thì các số: \({b_1},{b_2},.....,{b_{n + 1}} \in {\rm{\{ }}1,2,....,3n - 1\} \backslash {\rm{\{ }}n + 1,....,2n - 1\} .\) và các số thuộc tập này chia làm n cặp số: \((1;2n);(2;2n + 1);.....(n;3n - 1).\) Do đó trong n + 1 số \({b_1},{b_2},....,{b_{n + 1}}.\) tồn tại 2 số \({b_i},{b_j}\) thuộc cùng 1 cặp., chẳng hạn (t; 2n + t – 1) hay \(n < {b_i} - {b_j} = 2n + t - 1 - t = 2n - 1 < 2n.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link