1) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}& x+y=\sqrt{x+3y} \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=3 \\

Câu hỏi số 261524:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}& x+y=\sqrt{x+3y} \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=3 \\ \end{align} \right.\)

5) Với a, b là các số thực dương thỏa mãn \(ab+a+b=1.\) Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{1+{{a}^{2}}}+\frac{b}{1+{{b}^{2}}}=\frac{1+ab}{\sqrt{2(1+{{a}^{2}})(1+{{b}^{2}})}}\)

A. \(\left( x;\ y \right)=\left( 1;\ 1 \right).\)

B. \(\left( x;\ y \right)=\left( 1;\ 2 \right).\)

C. \(\left( x;\ y \right)=\left( 2;\ 1 \right).\)

D. \(\left( x;\ y \right)=\left( 2;\ 2 \right).\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261524

Phương pháp giải

+) Đặt điều kiện sau đó giải hệ phương trình.

+) Bình phương hai vế phương trình (1), biến đổi phương trình (2) sau đó trừ vế với vế của hai phương trình, biến đổi về phương trình tích.

+) Chứng minh biểu thức bằng phép biến đổi tương đương.

Giải chi tiết

1) Điều kiện: \(x+3y\ge 0.\)

Để hệ phương trình có nghiệm thì \(x+y\ge 0.\)

Hệ tương đương với:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{(x + y)^2} = x + 3y\\
{(x + y)^2} = 3 + xy
\end{array} \right. \Rightarrow x + 3y = 3 + xy\\
\Leftrightarrow x - xy + 3y - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
{x^2} + {y^2} + xy = 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
{x^2} + {y^2} + xy = 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
{y^2} + 3y + 6 = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
{x^2} + x - 2 = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
VN\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = - 2\\
y = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right..
\end{array}\)

+) Với \(x=y=1\) ta có: \(x+y=1+1>0\Rightarrow x=y=1\) là nghiệm của hệ phương trình.

+) Với \(x=-2,\ \ y=1\) ta có: \(x+y=1-2=-1<0\Rightarrow x=-1,\ y=1\) không là nghiệm của hệ phương trình.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \(\left( x;\ y \right)=\left( 1;\ 1 \right).\)

2) Vì \(ab+a+b=1\) nên \(\left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+1={{a}^{2}}+ab+a+b=\left( a+b \right)\left( a+1 \right) \\ & {{b}^{2}}+1={{b}^{2}}+ab+a+b=\left( a+b \right)\left( b+1 \right) \\ \end{align} \right..\)

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\begin{align} & \frac{a}{(a+b)(a+1)}+\frac{b}{(a+b)(b+1)}=\frac{1+ab}{\sqrt{2{{(a+b)}^{2}}(a+1)(b+1)}} \\& \Leftrightarrow \frac{a(b+1)+b(a+1)}{(a+b)(a+1)(b+1)}=\frac{1+ab}{(a+b)\sqrt{2(a+1)(b+1)}} \\& \Leftrightarrow (a+1)(b+1)=\sqrt{2(a+1)(b+1)} \\& \Leftrightarrow \sqrt{(a+1)(b+1)}=\sqrt{2} \\& \Leftrightarrow (a+1)(b+1)=2 \\& \Leftrightarrow ab+a+b+1=2 \\& \Leftrightarrow ab+a+b=1. \\\end{align}\)

Điều này là hoàn toàn đúng theo giả thiết.

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link