1) Giả sử p,q là hai số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức: \(p(p-1)=q({{q}^{2}}-1)\ \ \ \ \ \left( *

Câu hỏi số 261525:

Vận dụng cao

1) Giả sử p,q là hai số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức: \(p(p-1)=q({{q}^{2}}-1)\ \ \ \ \ \left( * \right)\)

a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho \(p-1=kq;\ \ {{q}^{2}}-1=kp.\)

b) Tìm tất cả các số nguyên tố \(p,\ q\) thỏa mãn đẳng thức (∗).

2) Với \(a,\ b,\ c\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab+bc+ca+abc=2,\) tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M=\frac{a+1}{{{a}^{2}}+2a+2}+\frac{b+1}{{{b}^{2}}+2b+2}+\frac{c+1}{{{c}^{2}}+2c+2}\)

A. 1) \(q = 3; p = 3.\)

2) \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

B. 1) \(q = 2; p = 3.\)

2) \(\frac{3\sqrt{2}}{4}\)

C. 1) \(q = 2; p = 3.\)

2) \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

D. 1) \(q = 2; p = 4.\)

2) \(\frac{2\sqrt{3}}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261525

Giải chi tiết

1) \(p\left( p-1 \right)=q\left( {{q}^{2}}-1 \right)\ \ \ \ \ \left( * \right).\)

a) Nếu \(p=q\) thì \(p-1={{q}^{2}}-1\Rightarrow p=q=0\) hoặc \(p=q=1\) (Vô lý).

Xét p khác q ta có: \(p|\ p-1,\ \ q|{{q}^{2}}-1\Rightarrow \exists \ {{k}_{1}},\ {{k}_{2}}\in N:\ \ \left\{ \begin{align} & p-1={{k}_{1}}q \\& {{q}^{2}}-1={{k}_{2}}p \\\end{align} \right..\)

Thay vào biểu thức \(p\left( p-1 \right)=q\left( {{q}^{2}}-1 \right)\) ta có : \(q{{k}_{1}}p=q{{k}_{2}}p\Rightarrow {{k}_{1}}={{k}_{2}}\Rightarrow \exists k\in N:\left\{ \begin{align} & p-1=kq \\& {{q}^{2}}-1=kp \\\end{align} \right.\ \ \left( dpcm \right).\)

b) Thế \(p=kq+1\) vào \({{q}^{2}}-1=kp\) ta được : \({{q}^{2}}-1=k(kq+1)\ \Leftrightarrow {{q}^{2}}-1={{k}^{2}}q+k\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow {{q}^{2}}-{{k}^{2}}q-1-k=0 \\& \Rightarrow \Delta ={{k}^{2}}+4\left( 1+k \right)={{k}^{4}}+4k+4. \\\end{align}\)

Để \(q\) là số nguyên tố thì \(\Delta \) là số chính phương. Ta có : \({{k}^{4}}<{{k}^{4}}+4k+4\le {{({{k}^{2}}+2)}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{align} & {{k}^{4}}+4k+4={{({{k}^{2}}+1)}^{2}} \\& {{k}^{4}}+4k+4={{\left( {{k}^{2}}+2 \right)}^{2}} \\\end{align} \right..\)

TH1 : \({{k}^{4}}+2k+1={{\left( {{k}^{2}}+1 \right)}^{2}}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {k^4} + 4k + 1 = {k^4} + 2{k^2} + 1\\
\Leftrightarrow 2{k^2} - 4k - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\\
k = \frac{{2 - \sqrt {10} }}{2}
\end{array} \right..
\end{array}\)

phương trình này không có nghiệm nguyên.

TH2 : \({{k}^{4}}+4k+4={{({{k}^{2}}+2)}^{2}}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {k^4} + 4k + 1 = {k^4} + 4{k^2} + 4\\
\Leftrightarrow {k^2} = k \Leftrightarrow k = 1\;\;\left( {do\;\;k \in {Z^ + }} \right)\\
\Rightarrow {q^2} - q - 2 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
q = 2\;\;\;\left( {tm} \right) \Rightarrow p = 3.\\
q = - 1\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Đây là các số nguyên tố thỏa mãn đề bài.

2) Ta có : \(ab+bc+ac+abc=2\Leftrightarrow (1+a)(1+b)(1+c)=(1+a)+(1+b)+(1+c)\)

Đặt : \(x=\frac{1}{1+a};y=\frac{1}{1+b};z=\frac{1}{1+c}\ \ \left( x,\ y,\ z>0 \right)\to xy+yz+zx=1\)

Ta có :

\(\begin{align} & M=\frac{a+1}{{{(a+1)}^{2}}+1}+\frac{b+1}{{{(b+1)}^{2}}+1}+\frac{c+1}{{{(c+1)}^{2}}+1} \\& =\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{{{x}^{2}}}+1}+\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{{{y}^{2}}}+1}+\frac{\frac{1}{\text{z}}}{\frac{1}{{{\text{z}}^{2}}}+1}=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}+\frac{y}{{{y}^{2}}+1}+\frac{\text{z}}{{{\text{z}}^{2}}+1} \\& =\frac{x}{(x+y)(x+\text{z)}}+\frac{y}{(y+x)(y+\text{z})}+\frac{\text{z}}{(\text{z}+x)(\text{z}+y)} \\& =\frac{x(y+\text{z})+y(x+\text{z})+\text{z}(x+y)}{(x+y)(y+\text{z})(\text{z}+x)} \\& =\frac{2}{(x+y)(y+\text{z})(\text{z+x)}} \\& 9(x+y)(y+\text{z})(\text{z+x)}\ge 8(x+y+\text{z})(xy+y\text{z}+\text{z}x) \\& \Leftrightarrow {{x}^{2}}y+{{y}^{2}}\text{z}+{{\text{z}}^{2}}x+x{{y}^{2}}+y{{\text{z}}^{2}}+\text{z}{{x}^{2}}\ge 6xy\text{z} \\\end{align}\)

( Đúng theo BĐT Cô Si cho 6 số).

Ta có :

\(\begin{align}& M\le \frac{2}{\frac{8}{9}(x+y+\text{z})(xy+y\text{z}+\text{z}x)}=\frac{9}{4(x+y+\text{z})}\le \frac{9}{4\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{4} \\& ({{(x+y+\text{z})}^{2}}\ge 3(xy+y\text{z+z}x)=3) \\\end{align}\)

Vậy giá trị lớn nhất của M là \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\), đạt tại chẳng hạn \(a=b=c=\sqrt{3}-1.\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link