1) Giả sử p,q là hai số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức: \(p(p-1)=q({{q}^{2}}-1)\ \ \ \ \ \left( *

Câu hỏi số 261525:

Vận dụng cao

1) Giả sử p,q là hai số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức: \(p(p-1)=q({{q}^{2}}-1)\ \ \ \ \ \left( * \right)\)

a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho \(p-1=kq;\ \ {{q}^{2}}-1=kp.\)

b) Tìm tất cả các số nguyên tố \(p,\ q\) thỏa mãn đẳng thức (∗).

2) Với \(a,\ b,\ c\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab+bc+ca+abc=2,\) tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M=\frac{a+1}{{{a}^{2}}+2a+2}+\frac{b+1}{{{b}^{2}}+2b+2}+\frac{c+1}{{{c}^{2}}+2c+2}\)

A. 1) \(q = 3; p = 3.\)

2) \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

B. 1) \(q = 2; p = 3.\)

2) \(\frac{3\sqrt{2}}{4}\)

C. 1) \(q = 2; p = 3.\)

2) \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

D. 1) \(q = 2; p = 4.\)

2) \(\frac{2\sqrt{3}}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261525

Giải chi tiết

1) \(p\left( p-1 \right)=q\left( {{q}^{2}}-1 \right)\ \ \ \ \ \left( * \right).\)

a) Nếu \(p=q\) thì \(p-1={{q}^{2}}-1\Rightarrow p=q=0\) hoặc \(p=q=1\) (Vô lý).

Xét p khác q ta có: \(p|\ p-1,\ \ q|{{q}^{2}}-1\Rightarrow \exists \ {{k}_{1}},\ {{k}_{2}}\in N:\ \ \left\{ \begin{align} & p-1={{k}_{1}}q \\& {{q}^{2}}-1={{k}_{2}}p \\\end{align} \right..\)

Thay vào biểu thức \(p\left( p-1 \right)=q\left( {{q}^{2}}-1 \right)\) ta có : \(q{{k}_{1}}p=q{{k}_{2}}p\Rightarrow {{k}_{1}}={{k}_{2}}\Rightarrow \exists k\in N:\left\{ \begin{align} & p-1=kq \\& {{q}^{2}}-1=kp \\\end{align} \right.\ \ \left( dpcm \right).\)

b) Thế \(p=kq+1\) vào \({{q}^{2}}-1=kp\) ta được : \({{q}^{2}}-1=k(kq+1)\ \Leftrightarrow {{q}^{2}}-1={{k}^{2}}q+k\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow {{q}^{2}}-{{k}^{2}}q-1-k=0 \\& \Rightarrow \Delta ={{k}^{2}}+4\left( 1+k \right)={{k}^{4}}+4k+4. \\\end{align}\)

Để \(q\) là số nguyên tố thì \(\Delta \) là số chính phương. Ta có : \({{k}^{4}}<{{k}^{4}}+4k+4\le {{({{k}^{2}}+2)}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{align} & {{k}^{4}}+4k+4={{({{k}^{2}}+1)}^{2}} \\& {{k}^{4}}+4k+4={{\left( {{k}^{2}}+2 \right)}^{2}} \\\end{align} \right..\)

TH1 : \({{k}^{4}}+2k+1={{\left( {{k}^{2}}+1 \right)}^{2}}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {k^4} + 4k + 1 = {k^4} + 2{k^2} + 1\\
\Leftrightarrow 2{k^2} - 4k - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\\
k = \frac{{2 - \sqrt {10} }}{2}
\end{array} \right..
\end{array}\)

phương trình này không có nghiệm nguyên.

TH2 : \({{k}^{4}}+4k+4={{({{k}^{2}}+2)}^{2}}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {k^4} + 4k + 1 = {k^4} + 4{k^2} + 4\\
\Leftrightarrow {k^2} = k \Leftrightarrow k = 1\;\;\left( {do\;\;k \in {Z^ + }} \right)\\
\Rightarrow {q^2} - q - 2 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
q = 2\;\;\;\left( {tm} \right) \Rightarrow p = 3.\\
q = - 1\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Đây là các số nguyên tố thỏa mãn đề bài.

2) Ta có : \(ab+bc+ac+abc=2\Leftrightarrow (1+a)(1+b)(1+c)=(1+a)+(1+b)+(1+c)\)

Đặt : \(x=\frac{1}{1+a};y=\frac{1}{1+b};z=\frac{1}{1+c}\ \ \left( x,\ y,\ z>0 \right)\to xy+yz+zx=1\)

Ta có :

\(\begin{align} & M=\frac{a+1}{{{(a+1)}^{2}}+1}+\frac{b+1}{{{(b+1)}^{2}}+1}+\frac{c+1}{{{(c+1)}^{2}}+1} \\& =\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{{{x}^{2}}}+1}+\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{{{y}^{2}}}+1}+\frac{\frac{1}{\text{z}}}{\frac{1}{{{\text{z}}^{2}}}+1}=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}+\frac{y}{{{y}^{2}}+1}+\frac{\text{z}}{{{\text{z}}^{2}}+1} \\& =\frac{x}{(x+y)(x+\text{z)}}+\frac{y}{(y+x)(y+\text{z})}+\frac{\text{z}}{(\text{z}+x)(\text{z}+y)} \\& =\frac{x(y+\text{z})+y(x+\text{z})+\text{z}(x+y)}{(x+y)(y+\text{z})(\text{z}+x)} \\& =\frac{2}{(x+y)(y+\text{z})(\text{z+x)}} \\& 9(x+y)(y+\text{z})(\text{z+x)}\ge 8(x+y+\text{z})(xy+y\text{z}+\text{z}x) \\& \Leftrightarrow {{x}^{2}}y+{{y}^{2}}\text{z}+{{\text{z}}^{2}}x+x{{y}^{2}}+y{{\text{z}}^{2}}+\text{z}{{x}^{2}}\ge 6xy\text{z} \\\end{align}\)

( Đúng theo BĐT Cô Si cho 6 số).

Ta có :

\(\begin{align}& M\le \frac{2}{\frac{8}{9}(x+y+\text{z})(xy+y\text{z}+\text{z}x)}=\frac{9}{4(x+y+\text{z})}\le \frac{9}{4\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{4} \\& ({{(x+y+\text{z})}^{2}}\ge 3(xy+y\text{z+z}x)=3) \\\end{align}\)

Vậy giá trị lớn nhất của M là \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\), đạt tại chẳng hạn \(a=b=c=\sqrt{3}-1.\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link