Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) và hai điểm \(A\left( {3; - 2} \right),\,\,B\left( { -

Câu hỏi số 261675:

Vận dụng cao

Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) và hai điểm \(A\left( {3; - 2} \right),\,\,B\left( { - 3;2} \right)\). Tìm trên \((E)\) điểm C có tọa độ dương sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.

A. \(C\left( {\sqrt 2 ;2} \right)\).

B. \(C\left( {\sqrt 3 ;2} \right)\).

C. \(C\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2};\sqrt 2 } \right)\).

D. \(C\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261675

Phương pháp giải

+) Viết phương trình đường thẳng AB.

+) Gọi \(C({x_0};{y_0}) \in \left( E \right)\,\,\,\left( {{x_0},\,{y_0} > 0} \right)\).

+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C;AB} \right)\).

+) Sử dụng BĐT Bunhiacopxki tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.

Giải chi tiết

Phương trình đường thẳng AB là: \(\frac{{x - 3}}{{ - 3 - 3}} = \frac{{y + 2}}{{2 + 2}} \Leftrightarrow 4x - 12 = - 6y - 12 \Leftrightarrow 2x + 3y = 0\)

\(AB = \sqrt {{{\left( { - 3 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 + 2} \right)}^2}} = \sqrt {52} \)

Gọi \(C({x_0};{y_0}),\,\,({x_0},\,{y_0} > 0)\). Do \(C \in (E) \Rightarrow \frac{{x_0^2}}{9} + \frac{{y_0^2}}{4} = 1\). Khi đó:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C;AB} \right) = \frac{1}{2}.\sqrt {52} .\frac{{\left| {2{x_0} + 3{y_0}} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = 2{x_0} + 3{y_0}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác, theo Bất đằng thức Bunhicopski:

\(2 = \left( {{1^2} + {1^2}} \right).\left( {\frac{{x_0^2}}{9} + \frac{{y_0^2}}{4}} \right) \ge {\left( {\frac{{{x_0}}}{3} + \frac{{{y_0}}}{2}} \right)^2} \Rightarrow \frac{{x_0^{}}}{3} + \frac{{y_0^{}}}{2} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow 2{x_0} + 3{y_0} \le 6\sqrt 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : \({S_{ABC}} \le 6\sqrt 2 \)

Dấu “=” xảy ra khi : \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x_0^2}}{9} + \frac{{y_0^2}}{4} = 1\\\frac{{{x_0}}}{3} = \frac{{{y_0}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\\{y_0} = \sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \) \(C\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2};\sqrt 2 } \right)\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.