1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \({x^2} + 5{y^2} - 4xy + 4x - 4y + 3 = 0.\) 2) Tìm tất cả các

Câu hỏi số 262068:

Vận dụng

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \({x^2} + 5{y^2} - 4xy + 4x - 4y + 3 = 0.\)

2) Tìm tất cả các số nguyên dương \(\left( {x;\;y} \right)\) thỏa mãn: \({x^2} + 3y\) và \({y^2} + 3x\) là số chính phương.

A. 1) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { - 2; - 1} \right),\;\;\left( { - 6; - 1} \right),\;\left( { - 6; - 3} \right),\;\left( { - 11; - 3} \right)} \right\}.\)

2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {1;\;4} \right),\;\left( {16;\;11} \right)} \right\}.\)

B. 1) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { 3; - 1} \right),\;\;\left( { - 6; - 1} \right),\;\left( { - 6; - 3} \right),\;\left( { - 10; - 3} \right)} \right\}.\)

2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {2;\;1} \right),\;\left( {16;\;11} \right)} \right\}.\)

C. 1) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { 2; - 1} \right),\;\;\left( { 6; - 1} \right),\;\left( { 6; - 3} \right),\;\left( { - 10; - 3} \right)} \right\}.\)

2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {11;\;1} \right),\;\left( {16;\;11} \right)} \right\}.\)

D. 1) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { - 2; - 1} \right),\;\;\left( { - 6; - 1} \right),\;\left( { - 6; - 3} \right),\;\left( { - 10; - 3} \right)} \right\}.\)

2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {1;\;1} \right),\;\left( {16;\;11} \right)} \right\}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262068

Giải chi tiết

1) Ta có: \({x^2} + 5{y^2} - 4xy + 4x - 4y + 3 = 0 \Leftrightarrow {(x - 2y + 2)^2} + {(y + 2)^2} = 5 = {2^2} + 1\)

Vì \(x,\;\;y \in Z\) nên ta có các TH sau:

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 2\\y + 2 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = - 2\\y + 2 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = - 2\\y + 2 = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 2\\y + 2 = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\y = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = - 4\\y = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = - 4\\y = - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\y = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 6\\y = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 6\\y = - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 10\\y = - 3\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { - 2; - 1} \right),\;\;\left( { - 6; - 1} \right),\;\left( { - 6; - 3} \right),\;\left( { - 10; - 3} \right)} \right\}.\)

2) Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(x \ge y\). Đặt: \({x^2} + 3y = {k^2};k > 0\)

Theo đề bài ta có x, y là các số nguyên dương nên \(k > x\), đặt \(k = x + t\) với \(t > 0.\)

Nếu \(t \ge 2\) thì ta có: \({k^2} = {(x + t)^2} = {x^2} + 2xt + {t^2} > {x^2} + 2tx > {x^2} + 4x > {x^2} + 3x \ge {x^2} + 3y\). Mâu thuẫn.

Vậy \(t = 1.\) Do đó: \(k = (x + 1) \Rightarrow {x^2} + 3y = {(x + 1)^2} \Rightarrow 3y = 2x + 1\)

Từ đây dễ có: \(x = \frac{{3y - 1}}{2} < 2y \Rightarrow {y^2} + 3x < {y^2} + 6y < {(y + 3)^2}\)

Đặt: \({y^2} + 3x = {z^2},\;\;z > 0,\;\;y < z < y + 3\). Ta có 2 trường hợp sau đây:

TH1: \(z = y + 1\) nên: \({y^2} + 3x = {(y + 1)^2} \Rightarrow 3x = 2y + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 2y + 1\\3y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1.\)

TH2: \(z = y + 2\) nên \({y^2} + 3x = {(y + 2)^2} \Rightarrow 3x = 4y + 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 4y + 4\\3y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 11\end{array} \right..\)

Vậy có các cặp số thỏa mãn là: \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {1;\;1} \right),\;\left( {16;\;11} \right)} \right\}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link