a) Giải phương trình: \({(x + 1)^3} = ({x^4} + 3{x^3})\sqrt {x + 3} \) b) Giải hệ phương

Câu hỏi số 262302:

Vận dụng

a) Giải phương trình: \({(x + 1)^3} = ({x^4} + 3{x^3})\sqrt {x + 3} \)

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + xy = 1\\2{x^6} - 1 = xy(2{x^2}{y^2} - 3)\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262302

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x \ge - 3\)

Phương trình đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}{(x + 1)^3} = ({x^4} + 3{x^3})\sqrt {x + 3} \\ \Leftrightarrow {(x + 1)^3} = {x^3}(x + 3)\sqrt {x + 3} \\ \Leftrightarrow {(x + 1)^3} = {(x\sqrt {x + 3} )^3}\\ \Leftrightarrow x + 1 = x\sqrt {x + 3} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{x^2} + 2x + 1 = {x^3} + 3{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^3} + 2{x^2} - 2x - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\(x - 1)({x^2} + 3x + 1) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \;\left\{ {1;\;\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + xy = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\2{x^6} - 1 = xy\left( {2{x^2}{y^2} - 3} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right)\; \Leftrightarrow \;2{x^6} - 2{(xy)^3} = 1 - 3xy\\ \Leftrightarrow 2{x^6} - 2{x^3}{y^3} = 1 - 3xy\;\;\;\;\;\left( * \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^3}\left( {{x^3} - {y^3}} \right) = 1 - 3xy.\;\;\;\left( {**} \right)\\ \Rightarrow 1 - 3xy = {x^2} + xy + {y^2} - 3xy = {(x - y)^2}\\ \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow 2{x^3}({x^3} - {y^3}) = {(x - y)^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^3}(x - y)({x^2} + xy + {y^2}) = {(x - y)^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^3}(x - y) = {(x - y)^2}\\ \Rightarrow (x - y)(2{x^3} - x + y) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\2{x^3} - x + y = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Với \(x = y\) thay vào (1) ta được: \(3{x^2} = 1 \Leftrightarrow x = y = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

Với \(2{x^3} = x - y\) thay vào \(\left( * \right)\) ta được :

\(\begin{array}{l}\frac{{{{(x - y)}^2}}}{2} - 2{(xy)^3} = 1 - 3xy\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{2} - 2{(xy)^3} = 1 - 3xy\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2} + xy - 3xy}}{2} - 2\left( {xy} \right) = 1 - 3xy\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - 3xy}}{2} - 2{(xy)^3} = 1 - 3xy\\ \Leftrightarrow 3xy - 1 = 4{(xy)^3}\\ \Leftrightarrow 4{(xy)^3} - 3xy + 1 = 0\\ \Leftrightarrow (xy + 1)(4{x^2}{y^2} - 4xy + 1) = 0\\ \Leftrightarrow (xy + 1){(2xy - 1)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy + 1 = 0\\2xy - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy = - 1\\xy = \frac{1}{2}\end{array} \right..\end{array}\)

Đến đây thế vào phương trình ta dễ thu được các nghiệm của bài toán là : \(\left\{ {{\rm{( - 1;1);}}\;{\rm{(1; - 1);}}\;\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}{\rm{;}}\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right){\rm{;}}\;\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}{\rm{;}}\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)} \right\}{\rm{.}}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link