Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm \(A\left( {0;0;1} \right);\,\,B\left( {m;0;0}

Câu hỏi số 262636:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm \(A\left( {0;0;1} \right);\,\,B\left( {m;0;0} \right);\,\,C\left( {0;n;0} \right)\), \(D\left( {1;1;1} \right)\) với \(m > 0,n > 0\) và \(m + n = 1\). Biết rằng khi m, n thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) và đi qua D. Tính bán kính R của mặt cầu đó ?

A. \(R = 1\)

\(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(R = \frac{3}{2}\)

D. \(R = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262636

Phương pháp giải

+) Gọi \(I\) là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

+) Chứng minh \(d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right) = ID = const\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {1;1;0} \right)\) là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\,\,\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + z = 1 \Leftrightarrow nx + my + mnz - mn = 0\).

Mặt khác \(d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {m + n - mn} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {n^2} + {m^2}{n^2}} }} = \frac{{\left| {1 - mn} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {n^2} + {m^2}{n^2}} }}\).

Ta có \({\left( {1 - mn} \right)^2} = 1 - 2mn + {m^2}{n^2}\) ; \(m + n = 1 \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} + 2mn = 1 \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 1 - 2mn\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {1 - mn} \right)^2} = {m^2} + {n^2} + {m^2}{n^2} \Rightarrow \sqrt {{m^2} + {n^2} + {m^2}{n^2}} = \left| {1 - mn} \right|\\ \Rightarrow d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right) = 1 = ID\end{array}\)

Vậy luôn tồn tại một mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) và đi qua D có bán kính \(R = 1\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.