Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\), mặt

Câu hỏi số 262635:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\), mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - y + z + 1 = 0\) và hai điểm \(A\left( { - 1;1;0} \right),\,\,B\left( {2;2;1} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với AB, vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính bằng \(\sqrt 3 \).

A. \(\left( \alpha \right):\,\,x - y - 2z + 1 = 0\) và \(\left( \alpha \right):\,\,x - y - 2z - 11 = 0\)

B. \(\left( \alpha \right):\,\,x - 5y - 2z + 1 = 0\) và \(\left( \alpha \right):\,\,x - y - 2z - 11 = 0\)

C. \(\left( \alpha \right):\,\,x - y - 2z + 1 = 0\) và \(\left( \alpha \right):\,\,x - 5y - 2z - 11 = 0\)

D. \(\left( \alpha \right):\,\,x - 5y - 2z + 1 = 0\) và \(\left( \alpha \right):\,\,x - 5y - 2z - 11 = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262635

Phương pháp giải

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).

+) Gọi \(\overrightarrow n ;\,\,\overrightarrow {{n_1}} \) lần lượt là 1 VTPT của mặt phẳng (P) và \(\left( \alpha \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)//AB\\\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow n \end{array} \right.\). Xác định vector \(\overrightarrow {{n_1}} \). Từ đó suy ra dạng của phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

+) Gọi d là khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt (S) theo một đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính bằng \(\sqrt 3 \) ta có \(d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \).

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1; - 1} \right)\), bán kính R = 3.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;1} \right)\), 1 VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)//AB\\\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow n \end{array} \right.\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow n } \right] = \left( {2; - 2; - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 1; - 2} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) .

Khi đó mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(x - y - 2z + D = 0\).

Gọi d là khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt (S) theo một đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính bằng \(\sqrt 3 \). Ta có \(d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {9 - 3} = \sqrt 6 \).

Ta có \(d = \sqrt 6 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 - \left( { - 1} \right) - 2\left( { - 1} \right) + D} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \Leftrightarrow \left| {5 + D} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 1\\D = - 11\end{array} \right.\)

Với \(D = 1\) thì \(\left( \alpha \right):\,\,x - y - 2z + 1 = 0\) không đi qua A (vì \( - 1 - 1 - 2.0 + 1 \ne 0\)) nên \(\left( \alpha \right)//AB\). Tương tự ki \(D = - 11\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x - y - 2z - 11 = 0\) cũng song song với AB.

Vậy có hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\left( \alpha \right):\,\,x - y - 2z + 1 = 0\) và \(\left( \alpha \right):\,\,x - y - 2z - 11 = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.