a) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{{4c}}{{a + b}}

Câu hỏi số 263684:

Vận dụng cao

a) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{{4c}}{{a + b}} > 2.\)

b) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = 11\\ab + ac + bc = 7\end{array} \right..\) Chứng minh rằng: \(\frac{1}{3} \le a,b,c \le 3.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263684

Phương pháp giải

a) Đặt: \(m = b + c;\,\,n = c + a;\,\,p = a + b\,\,\,\left( {m;n;p > 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{n + p - m}}{2}\\b = \frac{{p + m - n}}{2}\\c = \frac{{m + n - p}}{2}\end{array} \right..\) Sử dung BĐT Cauchy.

b) Tính \(a + b + c = 5 \Rightarrow c = 5 - a - b\), thế vào giả thiết \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 11 \Rightarrow \) Phương trình bậc hai ẩn a tham số b, tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm.

Giải chi tiết

a) Ta có:

Đặt: \(m = b + c;\,\,n = c + a;\,\,p = a + b\,\,\,\left( {m;n;p > 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{n + p - m}}{2}\\b = \frac{{p + m - n}}{2}\\c = \frac{{m + n - p}}{2}\end{array} \right..\)

Vậy vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\(\begin{array}{l}VT = \frac{{n + p - m}}{{2m}} + \frac{{p + m - n}}{{2n}} + \frac{{2\left( {m + n} \right) - 2p}}{p}\\\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{n}{{2m}} + \frac{m}{{2n}}} \right) + \left( {\frac{p}{{2m}} + \frac{{2m}}{p}} \right) + \left( {\frac{p}{{2n}} + \frac{{2n}}{p}} \right) - 3\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số nguyên dương ta có:

\(\begin{array}{l}VT = \left( {\frac{n}{{2m}} + \frac{m}{{2n}}} \right) + \left( {\frac{p}{{2m}} + \frac{{2m}}{p}} \right) + \left( {\frac{p}{{2n}} + \frac{{2n}}{p}} \right) - 3\\ \ge 2\sqrt {\frac{n}{{2m}}.\frac{m}{{2n}}} + 2\sqrt {\frac{p}{{2m}}.\frac{{2m}}{p}} + 2\sqrt {\frac{p}{{2n}}.\frac{{2n}}{p}} - 3 = 2.\frac{1}{2} + 2 + 2 - 3 = 2.\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} = {n^2}\\{p^2} = 4{m^2} = 4{n^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 2m = 2n = p \Rightarrow c = \frac{{m + n - p}}{2} = 0\) (Vô lý) \( \Rightarrow VT > 2\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có: \({\left( {a + b + c} \right)^2} = \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 11 + 2.7 = 25 \Leftrightarrow a + b + c = 5 \Rightarrow c = 5 - a - b\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} = 11\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {\left( {5 - a - b} \right)^2} = 11\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} - 10a - 10b + 2ab + 25 = 11\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 2\left( {5 - b} \right)a + 2{b^2} - 10b + 14 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - \left( {5 - b} \right)a + {b^2} - 5b + 7 = 0\end{array}\)

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\Delta = {\left( {5 - b} \right)^2} - 4\left( {{b^2} - 5b + 7} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 3{b^2} - 10b + 3 \le 0 \Leftrightarrow \left( {b - 3} \right)\left( {3b - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le b \le 3.\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3} \le a \le 3\\\frac{1}{3} \le c \le 3\end{array} \right..\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link