a) Tìm các số nguyên tố p sao cho 13p + 1 là lập phương của 1 số tự nhiên. b) Tìm 2 số x, y

Câu hỏi số 263683:

Vận dụng cao

a) Tìm các số nguyên tố p sao cho 13p + 1 là lập phương của 1 số tự nhiên.

b) Tìm 2 số x, y nguyên dương thỏa mãn: \({(x + 2)^2} - 6{(y - 1)^2} + xy = 24.\)

A. a) \(p=2;\,\,p=211\)

b) Hệ phương trình vô nghiệm.

B. a) Không có giá trị nào của p thỏa mãn.

b) Hệ phương trình vô nghiệm.

C. \(\begin{array}{l}a)\,\,p = 2;\,\,p = 211\\b)\,\,\left( {x;y} \right) = \left( {3;4} \right)\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}a)\,\,p = 2;\,\,p = 211\\b)\,\,\left( {x;y} \right) = \left( {4;3} \right)\end{array}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263683

Phương pháp giải

a) \(13p + 1 = {a^3}\,\,\,\left( {a \in N;a \ge 3} \right) \Rightarrow 13p = {a^3} - 1 \Leftrightarrow 13p = \left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)\)

b) Phân tích, chuyển số hạng tự do sang 1 vế. Đưa vế kia về dạng tích trong đó có 1 nhân tử là x + 3y.

Giải chi tiết

a) Giả sử:

\(13p + 1 = {a^3}\,\,\,\left( {a \in N;a \ge 3} \right) \Rightarrow 13p = {a^3} - 1 \Leftrightarrow 13p = \left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)\)

Do 13 và p đều là các số nguyên tố nên không có cách phân tích nào để 2 số này bằng tích của 2 số tự nhiên khác 1.

Do vậy phương trình trên xảy ra khi và chỉ khi thuộc 1 trong 2 trường hợp sau:

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 13\\{a^2} + a + 1 = p\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\p = {14^2} + 14 + 1 = 211\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = p\\{a^2} + a + 1 = 13\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\p = 3 - 1 = 2\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Kiểm tra lại thì cả 2 trường hợp này đều thỏa mãn.

Vậy giá trị cần tìm là: p = 2; p = 211.

b) Phương trình đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} - 6{\left( {y - 1} \right)^2} + xy = 24\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - 6\left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + xy = 24\\ \Leftrightarrow {x^2} - 6{y^2} + xy + 4x + 12y - 26 = 0.\\ \Leftrightarrow 4\left( {x + 3y} \right) + \left( {{x^2} - 6{y^2} + xy} \right) = 26\\ \Leftrightarrow 4\left( {x + 3y} \right) + \left( {x + 3y} \right)\left( {x - 2y} \right) = 26\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3y} \right)\left( {x - 2y + 4} \right) = 26.\end{array}\)

Do đây là phương trình nghiệm nguyên dương nên ta có các trường hợp sau:

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 2\\x - 2y + 4 = 13\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 13\\x - 2y + 4 = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\x - 2y + 4 = 26\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 26\\x - 2y + 4 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right..\)

Vậy nghiệm nguyên của phương trình la \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;3} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link