Cho tứ diện ABCD có mặt cầu nội tiếp là \(\left( {{S_1}} \right)\) và mặt cầu ngoại tiếp là

Câu hỏi số 263728:

Vận dụng

Cho tứ diện ABCD có mặt cầu nội tiếp là \(\left( {{S_1}} \right)\) và mặt cầu ngoại tiếp là \(\left( {{S_2}} \right)\). Một hình lập phương ngoại tiếp \(\left( {{S_2}} \right)\) và nội tiếp trong mặt cầu \(\left( {{S_3}} \right)\). Gọi \({r_1},\,\,{r_2},\,\,{r_3}\) lần lượt là bán kính các mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right);\,\,\left( {{S_2}} \right);\,\,\left( {{S_3}} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{{r_2}}}{{{r_3}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

B. \(\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{{r_2}}}{{{r_3}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

C. \(\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{{r_2}}}{{{r_3}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

D. \(\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{{r_2}}}{{{r_3}}} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263728

Phương pháp giải

Gọi a là cạnh của tứ diện đều, b là cạnh của hình lập phương. Tính các tỉ số \(\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}};\,\,\frac{{{r_2}}}{{{r_3}}}\).

Giải chi tiết

Gọi a là cạnh của tứ diện đều. Gọi \({G_1}\) là trọng tâm tam giác BCD. Gọi M là trung điểm của AB, qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt \(A{G_1}\) tại I. Ta có: \(A{G_1} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\(\Delta AMI \sim \Delta A{G_1}B\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{A{G_1}}} \Rightarrow AI = \frac{{AB.AM}}{{A{G_1}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

\( \Rightarrow {r_2} = AI = \frac{{a\sqrt 6 }}{4} \Rightarrow {r_1} = A{G_1} - {r_2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} - \frac{{a\sqrt 6 }}{4} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{1}{3}\)

Gọi b là cạnh của hình lập phương, thì \({r_2} = \frac{b}{2};\,\,{r_3} = \frac{{b\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó \(\frac{{{r_2}}}{{{r_3}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.