Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình \(\sin \left( {\frac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) + \cos

Câu hỏi số 263730:

Vận dụng cao

Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình

\(\sin \left( {\frac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right) = 0?\)

A. Số nghiệm của phương trình là 8.

B. Tổng các nghiệm của phương trình là 48.

C. Phương trình có vô số nghiệm thuộc R

D. Tổng các nghiệm của phương trình là 8.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263730

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(\sin x = - \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin \left( {\frac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) = - \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right)\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) = \sin \left( {\frac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\). Ta chỉ ra rằng các hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 6}}\) và \(g\left( x \right) = \frac{{60}}{{{x^2} + 32x + 332}}\) nhận giá trị trong khoảng này.

Thậy vậy: \(\left| {\frac{x}{{{x^2} + 6}}} \right| \le \left| {\frac{x}{{2\sqrt {6{x^2}} }}} \right| = \frac{1}{{2\sqrt 6 }}\).

Mặt khác \(0 < \frac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}} = \frac{{80}}{{{{\left( {x + 16} \right)}^2} + 76}} \le \frac{{80}}{{76}} < \frac{\pi }{2}\).

Từ những đánh giá trên, (*) xảy ra khi và chỉ khi

\(\frac{x}{{{x^2} + 6}} = \frac{{60}}{{{x^2} + 32x + 332}} \Leftrightarrow {x^3} - 48{x^2} + 332x - 480 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\\x = 40\end{array} \right.\).

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là \(2 + 6 + 40 = 48\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.