Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và \(\forall x \in \left[ {0;2018} \right]\), ta có \(f\left(

Câu hỏi số 263731:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và \(\forall x \in \left[ {0;2018} \right]\), ta có \(f\left( x \right) > 0\) và \(f\left( x \right).f\left( {2018 - x} \right) = 1\). Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_0^{2018} {\frac{1}{{1 + f\left( x \right)}}dx} \) là:

A. \(2018\)

B. 0

C. 1009

D. 4016

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263731

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t = 2018 - x\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = 2018 - x \Rightarrow dt = - dx\). Khi đó

\(\begin{array}{l}I = - \int\limits_{2018}^0 {\frac{{dt}}{{1 + f\left( {2018 - t} \right)}}} = \int\limits_0^{2018} {\frac{{dt}}{{1 + \frac{1}{{f\left( t \right)}}}}} = \int\limits_0^{2018} {\frac{{f\left( t \right)dt}}{{1 + f\left( t \right)}}} \\ \Rightarrow 2I = I + I = \int\limits_0^{2018} {\frac{1}{{1 + f\left( x \right)}}dx} + \int\limits_0^{2018} {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}dx} = \int\limits_0^{2018} {1dx} = \left. x \right|_0^{2018} = 2018\end{array}\)

Vậy \(I = 1009\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.