a) Cho hai số \(x>0,\,\,y>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{x+y}\le \frac{1}{4}\left(

Câu hỏi số 264617:

Vận dụng cao

a) Cho hai số \(x>0,\,\,y>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{x+y}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\)

b) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16\).

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c}\le \frac{8}{3}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:264617

Phương pháp giải

a) Biến đổi tương đương.

b) Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\) và \(\frac{1}{a+b+c}\le \frac{1}{9}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\).

Giải chi tiết

\(\begin{align} & a)\,\,\frac{1}{x+y}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right) \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{x+y}\le \frac{x+y}{4xy} \\ & \Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 4xy\ \ \ \ \left( do\ \ x>0,\ y>0 \right) \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy\ge 4xy \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{2}}\ge 0\,\,\left( luon\,\,dung \right) \\ \end{align}\)

b) Với ba số \(a,\ b,\ c>0,\) ta chứng minh BĐT \(\frac{1}{a+b+c}\le \frac{1}{9}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow \frac{1}{a+b+c}\le \frac{1}{9}\frac{ab+bc+ca}{abc} \\ & \Leftrightarrow 9abc\le \left( a+b+c \right)\left( ab+bc+ca \right) \\ & \Leftrightarrow 18abc\le \left( a+b+c \right)\left( 2ab+2bc+2ca \right)\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align}\)

Ta có

\(\begin{align} & {{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ca \\ & \Rightarrow {{\left( a+b+c \right)}^{2}}\ge 2ab+2bc+2ca \\ & \Rightarrow 18abc\le {{\left( a+b+c \right)}^{3}} \\ \end{align}\)

Mà \({{\left( a+b+c \right)}^{3}}\overset{Cauchy}{\mathop{\ge }}\,{{\left( 3\sqrt[3]{abc} \right)}^{3}}=27abc\ge 18abc\)

Vậy \(\frac{1}{a+b+c}\le \frac{1}{9}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\).

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\) và \(\frac{1}{a+b+c}\le \frac{1}{9}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\) ta có:

\(\begin{align} & VT=\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c} \\ & =\frac{1}{a+b+a+b+a+c}+\frac{1}{a+b+b+c+b+c}+\frac{1}{a+c+b+c+a+c} \\ & \le \frac{1}{9}\left( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c} \right) \\ & =\frac{1}{3}\left( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c} \right) \\ & \le \frac{1}{3}.\frac{1}{4}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \\ & =\frac{1}{6}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)=\frac{1}{6}.16=\frac{8}{3} \\ \end{align}\)

Vậy \(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c}\le \frac{8}{3}\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a+b=b+c=c+a \\ & a=b=c \\ & \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c=\frac{3}{16}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link