Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\) và một đường thẳng d không có điểm chung với đường
Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\) và một đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Trên d lấy một điểm M bất kì, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt đường thẳng AB tại E.
a) Chứng minh rằng \(BE.MB=BC.OB\).
b) Gọi N là giao điểm của CM với OE. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng OM và CE vuông góc với đường thẳng BN.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của dây AB khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d, biết R = 8cm và khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 10cm.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
a) Chứng minh tam giác OMB và tam giác ECB đồng dạng.
b) Chứng minh PQ là trung trực của BN.
c) Chứng minh AB min khi và chỉ khi \(OM\bot d\).
a) Xét tứ giác OAMB có \(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác OAMB là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
\(\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OMB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB).
Mà \(\widehat{OAB}=\widehat{BCE}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\) ) \(\Rightarrow \widehat{OMB}=\widehat{BCE}\) .
Xét tam giác \(OMB\) và tam giác \(ECB\) có:
\(\widehat{OBM}=\widehat{EBC}={{90}^{0}};\,\,\widehat{OMB}=\widehat{BCE}\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta OMB\backsim \Delta ECB\,\,\left( g.g \right)\)
\(\Rightarrow \frac{BE}{OB}=\frac{BC}{MB}\Leftrightarrow BE.MB=BC.OB\) (đpcm).
b) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của OM và CE.
\(\Delta OMB\backsim \Delta ECB\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{CEB}=\widehat{MOB}\)
Xét tam giác EAC và tam giác OMA có:
\(\begin{align} & \widehat{ECA}=\widehat{OMA}={{90}^{0}};\,\,\widehat{CEA}=\widehat{CEB}=\widehat{MOB}=\widehat{MOA} \\ & \Rightarrow \Delta EAC\backsim \Delta OMA\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{EC}{OA}=\frac{AC}{AM}\Rightarrow \frac{EC}{OC}=\frac{AC}{AM}. \\ \end{align}\)
Xét tam giác COE và tam giác AMC có \(\widehat{OCE}=\widehat{CAM}={{90}^{0}};\,\,\frac{CE}{CO}=\frac{AC}{AM}\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta COE\backsim \Delta ACM\,\,\left( c.g.c \right)\)
\(\Rightarrow \widehat{AMC}=\widehat{COE}\) . (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat{COE}+\widehat{NOA}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{AMC}+\widehat{NOA}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác OAMN là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800). \(\Rightarrow \widehat{ONM}={{180}^{0}}-\widehat{OAM}={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta OMN\) vuông tại N.
\(\Rightarrow NP=\frac{1}{2}OM\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).
Ta có \(\Delta OBM\) vuông tại B \(\Rightarrow BP=\frac{1}{2}OM\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).
\(\Rightarrow NP=BP=\frac{1}{2}OM\Rightarrow P\) thuộc trung trực của đoạn thẳng BN.
Chứng minh tương tự ta có \(NQ=BQ=\frac{1}{2}EC\Rightarrow Q\) thuộc trung trực của đoạn thẳng BN.
Vậy PQ là trung trực của đoạn thẳng BN \(\Rightarrow PQ\bot BN\)
c) Gọi \(H=AB\cap OM\) ta có \(OH\bot AB\Rightarrow A{{B}_{\min }}\Leftrightarrow O{{H}_{\max }}\) .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM có
\(OH.OM=O{{A}^{2}}={{R}^{2}}\Rightarrow OH=\frac{{{R}^{2}}}{OM}\Rightarrow O{{H}_{\max }}\Leftrightarrow O{{M}_{\min }}\Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc vủa O trên đường thẳng \(d\Rightarrow OM=d\left( O;d \right)=10\Rightarrow OH=\frac{{{8}^{2}}}{10}=6,4\,\,\left( cm \right)\) .
Xét tam giác vuông OAH có \(AH=\sqrt{{{8}^{2}}-{{6,4}^{2}}}=4,8\,\,\left( cm \right)\Rightarrow AB=2AH=9,6\,\,\left( cm \right)\) .
Vậy dây AM nhỏ nhất là 9,6 cm.
Đáp án cần chọn là: D
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
