Khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(SA=SB=SC=a\), cạnh \(SD\) thay đổi. Thể tích

Câu hỏi số 265157:

Vận dụng cao

Khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(SA=SB=SC=a\), cạnh \(SD\) thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.ABCD\) là

\(\frac{{{a}^{3}}}{8}.\)

B. \(\frac{{{a}^{3}}}{4}.\)

C. \(\frac{3{{a}^{3}}}{8}.\)

D. \(\frac{{{a}^{3}}}{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265157

Phương pháp giải

Dựng hình, xác định chiều cao của khối chóp, đưa thể tích về hàm 1 ẩn và khảo sát hàm số tìm max

Giải chi tiết

Hình vẽ tham khảo

Gọi \(I\) là tâm hình thoi \(ABCD\), \(H\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\).

Ta có \(SA=SB=SC\) nên hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) hay \(H\in BI\).

Có \(S{{I}^{2}}=S{{A}^{2}}-I{{A}^{2}}={{a}^{2}}-I{{A}^{2}}\), \(I{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-I{{A}^{2}}={{a}^{2}}-I{{A}^{2}}\) suy ra \(SI=IB\). Khi đó tam giác \(SBD\) vuông tại \(S\). Hoặc \(\Delta ABC=\Delta ASC=\Delta ADC\) \(\left( c-c-c \right)\) nên \(IB=IS=ID\), do đó \(\Delta SBD\) vuông tại \(S\).

Giả sử \(SD=x\). Ta có \(SB.SD=SH.BD\) \(\Leftrightarrow a.x=SH.BD\)\(\Leftrightarrow SH=\frac{a.x}{BD}\)

Ta có \({{V}_{SABCD}}=\frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{3}.\frac{ax}{BD}.\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{6}ax.AC\)

Lại có \(B{{D}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{D}^{2}}={{a}^{2}}+{{x}^{2}}\) suy ra \(I{{B}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}{4}\) \(\Rightarrow I{{A}^{2}}={{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{4}\)

Suy ra \(AC=2IA\) \(=2\sqrt{\frac{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{4}}\)\(=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\)\(\Rightarrow \)\({{V}_{SABCD}}=\frac{1}{6}ax.\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\le \frac{a}{6}.\frac{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2}=\frac{{{a}^{3}}}{4}\)

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.ABCD\) là \(\frac{{{a}^{3}}}{4}\).

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.