Cho đường tròn tâm (O), từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B

Câu hỏi số 265607:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm (O), từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D; O và B nằm về hai phía so với cát tuyến MCD).

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Chứng minh \(M{{B}^{2}}=MC.MD\)

c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của \(\widehat{CHD}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265607

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác MAOB có tổng hai góc đối bằng 1800.
b) Chứng minh tam giác MBC và tam giác MDC đồng dạng.
c) +) Chứng minh tứ giác OHCD là tứ giác nội tiếp;
+) Chứng minh \(\widehat{MHC}=\widehat{OHD}\). Từ đó suy ra \(\widehat{CHB}=\widehat{BHD}\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

Ta có \(\widehat{OAM}=\widehat{OBM}={{90}^{0}}\) (Do MA, MB là tiếp tuyến của đường tròn (O))
Xét tứ giác OAMB có: \(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow\) Tứ giác OAMB là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
b) Chứng minh \(M{{B}^{2}}=MC.MD\)
Xét tam giác MBC và tam giác MDB có:
\(\widehat{BMD}\) chung;
\(\widehat{MBC}=\widehat{MDB}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
\(\Rightarrow \Delta MBC\backsim \Delta MDB\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{MB}{MD}=\frac{MC}{MB}\Rightarrow M{{B}^{2}}=MC.MD\)
c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của \(\widehat{CHD}\).
Ta có \(MA=MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \(\Rightarrow M\) thuộc trung trực của AB;
\(OA=OB\,\,\left( =R \right)\Rightarrow O\) thuộc trung trực của AB;
\(\Rightarrow OM\) là trung trực của AB \(\Rightarrow OM\bot AB\)
Xét tam giác vuông OMB có \(M{{B}^{2}}=MH.MO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Mà \(M{{B}^{2}}=MC.MD\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow MH.MO=MC.MD\Rightarrow \frac{MC}{MO}=\frac{MH}{MD}\)
Xét tam giác MCH và MOD có :
\(\widehat{OMD}\) chung ;
\(\frac{MC}{MO}=\frac{MH}{MD}\,\,\,\left( cmt \right)\);
\(\Delta MCH\backsim \Delta MOD\,\,\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{MHC}=\widehat{MDO}\) (hai góc tương ứng) (1).
Mà \(\widehat{MHC}+\widehat{OHC}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{MDO}+\widehat{OHC}={{180}^{0}}\Rightarrow\) Tứ giác OHCD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
\(\Rightarrow \widehat{OHD}=\widehat{OCD}\) (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OD).
Mà \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}=\widehat{MDO}\) (3) (tam giác OCD cân tại O);
Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow \widehat{MHC}=\widehat{OHD}\).
\(\Rightarrow {{90}^{0}}-\widehat{MHC}={{90}^{0}}-\widehat{OHD}\Rightarrow \widehat{CHB}=\widehat{BHD}\).
Vậy HB là tia phân giác của góc CHD hay AB là tia phân giác của góc CHD.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link