Trên mặt phẳng cho hai điểm P, Q phân biệt. Xét 10 đường thẳng nằm trong mặt phẳng trên thỏa

Câu hỏi số 266441:

Vận dụng

Trên mặt phẳng cho hai điểm P, Q phân biệt. Xét 10 đường thẳng nằm trong mặt phẳng trên thỏa mãn các tính chất sau:

i) không có hai đường thẳng nào song song hoặc trùng nhau;

ii) mỗi đường thẳng đi qua P và Q, không có đường thẳng nào đi qua cả P và Q.

Hỏi 10 đường thẳng trên có thể chia mặt phẳng thành tối đa bao nhiêu miền? Hãy giải thích.

A. 42 miền

B. 43 miền

C. 44 miền

D. 45 miền

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:266441

Giải chi tiết

Gọi k là số đường thẳng đi qua P và 10 – k là số đường thẳng đi qua Q (k ∈ ℕ, k ≤ 10)

Đường thẳng đầu tiên đi qua P chia mặt phẳng thành 2 miền

Vì các đường thẳng không trùng nhau nên mỗi đường thẳng tiếp theo đi qua P sẽ cắt qua 2 miền đã có, và chia mỗi miền này thành 2 miền nhỏ hơn, do đó tổng số miền tăng thêm 2.

Do đó, k đường thẳng đi qua P sẽ chia mặt phẳng thành 2k miền.

Nếu k = 10 thì ta có 20 miền (1)

Nếu k ≤ 9:

Ta thấy: Nếu một đường thẳng được vẽ thêm và cắt các đường thẳng đã có tại n điểm phân biệt thì đường thẳng mới sẽ đi qua n + 1 miền đã có, do đó sẽ tạo thêm n + 1 miền mới

Ta xét 10 – k đường thẳng đi qua Q:

Đường thẳng đầu tiên đi qua Q cắt k đường thẳng đã có tại k điểm phân biệt và tạo thêm k + 1 miền mới

⇒ Tổng số miền là 2k + k + 1 = 3k + 1 (miền)

Từ đường thẳng thứ 2 đi qua Q trở đi, mỗi đường thẳng đi qua Q sẽ cắt các đường thẳng đã có tại tối đa k + 1 điểm phân biệt và tạo thêm k + 2 miền mới

Do đó tổng số miền sẽ là 3k + 1 + (9 – k)(k + 2) = –k² + 10k + 19 = –(k – 5)² + 44 ≤ 44 (2)

So sánh (1) và (2) ta thấy số miền tối đa có thể được là 44 miền, đạt được khi k = 5

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link