Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA = 7a\) và SA vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 267293:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA = 7a\) và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G, I, J thứ tự là trọng tâm tam giác \(SAB,\,\,SAD\) và trung điểm CD. Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (GIJ) bằng

A. \(\frac{{93{a^2}}}{{40}}\).

B. \(\frac{{23{a^2}}}{{60}}\).

C. \(\frac{{31{a^2}}}{{45}}\).

D. \(\frac{{3\sqrt {33} {a^2}}}{8}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267293

Phương pháp giải

Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (GIJ), sau đó, tính diện tích của thiết diện.

Giải chi tiết

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, BC.

Gọi \(E = AD \cap JP,\,\,F = AB \cap JP\), \(Q = EI \cap SD\), \(H = SA \cap IE\), \(K = SB \cap GF\).

Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (GIJ) là ngũ giác HKPJQ.

Dễ dàng chỉ ra rằng: \(AN = ND = DE\),

\(AM = MB = BF\), \(EJ = JP = PF\)

Ta có \(\Delta HAE = \Delta HAF\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow HE = HF \Rightarrow \Delta HEF\) cân tại H.

Gọi L là giao điểm của JP và AC ta có \(\left\{ \begin{array}{l}JP \bot AC\\JP \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow JP \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow JP \bot HL\).

\( \Rightarrow L\) là trung điểm của EF, \(EF = 3JP = \frac{3}{2}BD = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\) và \({S_{HEF}} = \frac{1}{2}HL.EF\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SAN có: \(\frac{{HS}}{{HA}}.\frac{{EA}}{{EN}}.\frac{{IN}}{{IS}} = 1 \Rightarrow \frac{{HS}}{{HA}}.\frac{3}{2}.\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{{HS}}{{HA}} = \frac{4}{3} \Rightarrow HA = \frac{3}{7}SA = 3a\)

Ta có \(AL = \frac{3}{4}AC = \frac{3}{4}a\sqrt 2 \)

Xét tam giác vuông HAL có \(HL = \sqrt {A{L^2} + A{H^2}} = \frac{{9a\sqrt 2 }}{4}\).

\( \Rightarrow {S_{HEF}} = \frac{1}{2}HL.EF = \frac{1}{2}.\frac{{9a\sqrt 2 }}{4}.\frac{{3a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{27{a^2}}}{8}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SND có: \(\frac{{IS}}{{IN}}.\frac{{EN}}{{ED}}.\frac{{QD}}{{QS}} = 1 \Rightarrow 2.2.\frac{{QD}}{{QS}} = 1 \Rightarrow \frac{{QD}}{{QS}} = \frac{1}{4}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác EAH có: \(\frac{{SH}}{{SA}}.\frac{{DA}}{{DE}}.\frac{{QE}}{{QH}} = 1 \Rightarrow \frac{4}{7}.2.\frac{{QE}}{{QH}} = 1 \Rightarrow \frac{{QE}}{{QH}} = \frac{7}{8} \Rightarrow \frac{{EQ}}{{EH}} = \frac{7}{{15}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{S_{QEJ}}}}{{{S_{HEF}}}} = \frac{{QE}}{{QH}}.\frac{{EJ}}{{EF}} = \frac{7}{{15}}.\frac{1}{3} = \frac{7}{{45}} \Rightarrow {S_{QEJ}} = \frac{7}{{45}}{S_{HEF}} = {S_{KPF}}\\ \Rightarrow {S_{HQJPK}} = \frac{{31}}{{45}}{S_{HEF}} = \frac{{31}}{{45}}.\frac{{27{a^2}}}{8} = \frac{{93}}{{40}}{a^2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.