Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Biết các mặt bên của hình chóp cùng tạo với
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Biết các mặt bên của hình chóp cùng tạo với đáy các góc bằng nhau và thể tích khối chóp bằng \(\frac{{4\sqrt 3 {a^3}}}{3}\). Tính khoảng cách giữa SA và CD.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, các mặt bên của hình chóp cùng tạo với đáy các góc bằng nhau \( \Rightarrow \) S.ABCD là hình chóp đều.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD \( \Rightarrow SO \bot (ABCD)\)
Ta có:
\(CD//AB \Rightarrow CD//(SAB) \Rightarrow d(CD;SA) = d(CD;(SAB)) = d(C;(SAB))\) (1)
Mà \(AC \cap (SAB) = A,\,\,AC = 2.OA\)\( \Rightarrow d(C;(SAB)) = 2d(O;(SAB))\) (2)
Gọi E là trung điểm của AB \( \Rightarrow OE \bot AB\)
Kẻ \(OH \bot SE\) , ta có: \(AB \bot OE,\,\,AB \bot SO \Rightarrow AB \bot (SOE) \Rightarrow AB \bot OH\)
\( \Rightarrow OH \bot (SAB)\)\( \Rightarrow d(O;(SAB)) = OH\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra : \(d(SA;CD) = 2OH\)
+) Tính SO: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt 3 {a^3}}}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {2a} \right)^2}.SO \Rightarrow SO = \sqrt 3 a\)
+) Tính OE: \(OE = \frac{1}{2}AD = a\)
+) Tính OH:
\(\Delta \)SOE vuông tại O, \(OH \bot SE\) \( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\)
\( \Rightarrow d(SA;CD) = 2OH = \sqrt 3 a\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
