Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình \(\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}x -

Câu hỏi số 267410:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình \(\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}x - \left( {2m + 1} \right)\cos x + m} \right) = 0\) có đúng bốn nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267410

Phương pháp giải

Đưa phương trình về dạng tích, giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Cách giải:

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}x - \left( {2m + 1} \right)\cos x + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}x - 2m\cos x - \cos x + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left[ {2\cos x\left( {\cos x - m} \right) - \left( {\cos x - m} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {\cos x - m} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = \frac{1}{2}\\\cos x = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\cos x = m\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Do \(x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{3}} \right\}\)

Do đó để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thực phân biệt thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\) thì phương trình (*)

TH1: có đúng 1 nghiệm thực thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow \cos x = - 1 \Rightarrow m = - 1\).

TH2: có hai nghiệm trong đó có 1 nghiệm thuộc \(\left\{ {\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{3}} \right\}\)

\(\begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow m = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right\}\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow m = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{3}} \right\}\,\,\left( {ktm} \right)\\x = \frac{{5\pi }}{3} \Rightarrow m = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{3}} \right\}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn là\(m = - 1;\,\,m = 0\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.