Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm A(1,-1,1) , đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{2} =

Câu hỏi số 267409:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm A(1,-1,1) , đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Gọi là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và khoảng cách từ A đến (Q) lớn nhất. Tính thể tích khối tứ diện tạo bởi (Q) và các trục tọa độ Ox,Oy,Oz .

A. \(\frac{1}{{36}}.\)

B. \(\frac{1}{6}.\)

C. \(\frac{1}{{18}}.\)

D. \(\frac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267409

Phương pháp giải

+) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên (Q) và đường thẳng \(\Delta \).

+) Khoảng cách từ A đến (Q) lớn nhất khi và chỉ khi \(AK \bot \left( Q \right)\).

+) Viết phương trình mặt phẳng (Q), xác định giao điểm của (Q) với các trục tọa độ và tính thế tích.

Giải chi tiết

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên (Q) và đường thẳng \(\Delta \).

Ta có \(AH \le AK \Rightarrow d{\left( {A;\left( Q \right)} \right)_{\max }} \Leftrightarrow \left( Q \right) \bot AK\).

\(K\left( {2t + 1;t; - t - 1} \right) \in \Delta \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {2t;t + 1; - t - 2} \right) \bot \Delta \)

\( \Rightarrow 2.2t + t + 1 + t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2} \Rightarrow K\left( {0; - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( { - 1;\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( { - 2;1; - 3} \right)\)

\( \Rightarrow \left( { - 2;1; - 3} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( Q \right)\) và \(M\left( {1;0; - 1} \right) \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\, - 2x + y - 3z - 1 = 0\).

Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của (Q) và các trục Ox, Oy, Oz ta có \(A\left( { - \frac{1}{2};0;0} \right);\,\,B\left( {0;1;0} \right);\,\,C\left( {0;0; - \frac{1}{3}} \right)\)

\( \Rightarrow {V_{OABC}} = \frac{1}{6}.\frac{1}{2}.1.\frac{1}{3} = \frac{1}{{36}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.