Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 4 = 0\;\;\left( 1 \right),\) (x là ẩn số và m là tham số). a) Giải

Câu hỏi số 267474:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 4 = 0\;\;\left( 1 \right),\) (x là ẩn số và m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 8.\)

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) với mọi \(m.\) Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của \(m\) để \(\left( {5{x_1} - 1} \right)\left( {5{x_2} - 1} \right) < 0.\)

A. a) \(S = \left\{ {7 - 2\sqrt 3 ;4 + 2\sqrt 3 } \right\}.\)

b) \(m \in \left\{ {1;\;2;\;3;\;4;5} \right\}.\)

B. a) \(S = \left\{ {4 - 2\sqrt 3 ;4 + 2\sqrt 3 } \right\}.\)

b) \(m \in \left\{ {1;\;2;\;3;\;4} \right\}.\)

C. a) \(S = \left\{ {4 - 2\sqrt 3 ;4 + 2\sqrt 2 } \right\}.\)

b) \(m \in \left\{ {1;\;2;\;3;\;4} \right\}.\)

D. a) \(S = \left\{ {4 - 2\sqrt 3 ;4 + 2\sqrt 7 } \right\}.\)

b) \(m \in \left\{ {1;\;2;\;3;4; \;5} \right\}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267474

Phương pháp giải

+) Thay \(m = 8\) vào phương trình (1) sau đó dùng công thức nghiệm để giải phương trình hoặc đưa phương trình về dạng phương trình tích.

+) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \Leftrightarrow \Delta > 0\;\;\forall m.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\) và bất đẳng thức bài cho để tìm điều kiện của \(m.\)

+) Kết hợp với điều kiện \(m \ne {Z^ + }\) để kết luận giá trị của \(m.\)

Giải chi tiết

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 8.\)

Thay \(m = 8\) vào phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 8 - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 4 = 0.\end{array}\)

Có: \(\Delta ' = {4^2} - 4 = 12 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 .\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 4 + 2\sqrt 3 \\{x_2} = 4 - 2\sqrt 3 \end{array} \right..\)

Vậy với \(m = 8\) thì phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {4 - 2\sqrt 3 ;4 + 2\sqrt 3 } \right\}.\)

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) với mọi \(m.\) Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của \(m\) để \(\left( {5{x_1} - 1} \right)\left( {5{x_2} - 1} \right) < 0.\)

\({x^2} - mx + m - 4 = 0\;\;\left( 1 \right),\)

Ta có: \(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 4} \right) = {m^2} - 4m + 16 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 12 > 0\;\;\forall m.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\) với mọi \(m.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 4\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left( {5{x_1} - 1} \right)\left( {5{x_2} - 1} \right) < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 25{x_1}{x_2} - 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0\\ \Leftrightarrow 25\left( {m - 4} \right) - 5m + 1 < 0\\ \Leftrightarrow 20m < 99\\ \Leftrightarrow m < \frac{{99}}{{20}} = 4,95.\end{array}\)

Vậy \(m \in {Z^ + }\) thỏa mãn bài toán là: \(m \in \left\{ {1;\;2;\;3;\;4} \right\}.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link