Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)={{e}^{\sqrt[3]{x}}}\)

Câu hỏi số 268158:

Thông hiểu

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)={{e}^{\sqrt[3]{x}}}\) và \(F\left( 0 \right)=2.\) Hãy tính \(F\left( -1 \right).\)

A. \(6-\frac{15}{e}\)

B. \(4-\frac{10}{e}\)

C. \(\frac{15}{e}-4\)

D. \(\frac{10}{e}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268158

Phương pháp giải

+) Sử dụng công thức nguyên hàm của các hàm số cơ bản để tìm hàm \(F\left( x \right).\)

+) Dựa vào giả thiết để tính \(F\left( -1 \right).\)

Giải chi tiết

Ta có: \(F\left( x \right)=\int{{{e}^{\sqrt[3]{x}}}dx}.\)

Đặt \(\sqrt[3]{x}=t\Rightarrow {{t}^{3}}=x\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}dt=dx.\)

\(\Rightarrow F\left( x \right)=\int{3{{t}^{2}}{{e}^{t}}dt}.\)

Với \(x=0\Rightarrow t=0,\ \ x=-1\Rightarrow t=-1.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = {t^2}\\
dv = {e^t}dt
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2tdt\\
v = {e^t}
\end{array} \right..\)

\(\Rightarrow F\left( x \right)=3\left( {{t}^{2}}{{e}^{t}}\int{2t{{e}^{t}}dt} \right)=3{{t}^{2}}{{e}^{t}}-6\int{t{{e}^{t}}dt}.\)

Đặt\(\left\{ \begin{array}{l}
u = t\\
dv = {e^t}dt
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dt\\
v = {e^t}
\end{array} \right..\)

\(\begin{align} & \Rightarrow F\left( t \right)=3{{t}^{2}}{{e}^{t}}-6\left( t{{e}^{t}}-\int{{{e}^{t}}dt} \right)=3{{t}^{2}}{{e}^{t}}-6t{{e}^{t}}+6{{e}^{t}}+C. \\ & \Rightarrow F\left( 0 \right)=2\Leftrightarrow 6+C=2\Leftrightarrow C=-4 \\ & \Rightarrow F\left( t \right)=3{{t}^{2}}{{e}^{t}}-6t{{e}^{t}}+6{{e}^{t}}-4 \\ & \Rightarrow F\left( -1 \right)=3.{{e}^{-1}}+6{{e}^{-1}}+6{{e}^{-1}}-4=\frac{15}{e}-4. \\\end{align}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.