Cho hàm số \(y = f(x)\)liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{\pi }{2}}

Câu hỏi số 268548:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f(x)\)liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{\pi }{2}} \right\}\) thỏa mãn \(f'(x) = \tan \,x,\,\,\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right){\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{\pi }{2}} \right\}\), \(f(0) = 0,\,\,f(\pi ) = 1\). Tỉ số giữa \(f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) và \(f\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) bằng

A. \(2\left( {{{\log }_2}e + 1} \right)\).

B. 2

C. \(\frac{{2\left( {1 + \ln 2} \right)}}{{2 + \ln 2}}\).

D. \(2\left( {1 - {{\log }_2}e} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268548

Phương pháp giải

Tìm \(f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\int {\tan \,xdx} = \int {\frac{{\sin \,xdx}}{{\cos x}}} = - \int {\frac{{d(\cos x)}}{{\cos x}}} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

\(f'(x) = \tan \,x,\,\,\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right){\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{\pi }{2}} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) = - \ln \left| {\cos x} \right| + {C_1},\,\,x \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right)\\f(x) = - \ln \left| {\cos x} \right| + {C_2},\,\,x \in \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\end{array} \right.\)

Mà \(f(0) = 0,\,\,f(\pi ) = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \ln 1 + {C_1} = 0\\ - \ln 1 + {C_2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_1} = 0\\{C_2} = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) = - \ln \left| {\cos x} \right|,\,\,x \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right)\\f(x) = - \ln \left| {\cos x} \right| + 1,\,\,x \in \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \ln \left| {\cos \frac{{2\pi }}{3}} \right| + 1 = \ln 2 + 1\\f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \ln \left| {\cos \frac{\pi }{4}} \right| = \frac{1}{2}\ln 2\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{f\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}} = \frac{{2\left( {\ln 2 + 1} \right)}}{{\ln 2}} = 2(1 + {\log _2}e)\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.