Cho \({z_1};{z_2}\) là hai số trong các số phức thỏa mãn điểu kiện \(\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z - 3 + 2i} \right|\), đồng thời \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt 5 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(H = \left| {w - {z_1}} \right| + \left| {w - {z_2}} \right|\), trong đó \(w = 1 + 3i\).

Câu 268810: Cho \({z_1};{z_2}\) là hai số trong các số phức thỏa mãn điểu kiện \(\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z - 3 + 2i} \right|\), đồng thời \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt 5 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(H = \left| {w - {z_1}} \right| + \left| {w - {z_2}} \right|\), trong đó \(w = 1 + 3i\).

A. \(\frac{{14\sqrt 5 }}{5}\)

B. \(\frac{{3\sqrt {85} }}{5}\)

C. \(\frac{{\sqrt {1165} }}{5}\)

D. \(\frac{{\sqrt {1105} }}{5}\)

Câu hỏi : 268810

Phương pháp giải:

Đưa về bài toán hình học bằng cách gọi các điểm biểu diễn các số phức

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in R} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z - 3 + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 1 - 2i} \right| = \left| {x + yi - 3 + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 2x - 4y + 5 = - 6x + 4y + 13\\ \Leftrightarrow 4x - 8y - 8 = 0\\ \Leftrightarrow x - 2y - 2 = 0\end{array}\)

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện \(\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z - 3 + 2i} \right|\) là đường thẳng \(\left( d \right):\,\,x - 2y - 2 = 0\).

Gọi \(M;N\) lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức \({z_1};{z_2} \Rightarrow M;N \in d\) và \(MN = \sqrt 5 \). Gọi P là điểm biểu diễn cho số phức \(w = 1 + 3i \Rightarrow P\left( {1;3} \right)\).

Theo bài ra ta có: \(H = PM + PN \ge 2\sqrt {PM.PN} \)

Dấu = xảy ra \( \Rightarrow PM = PN \Leftrightarrow \Delta PMN\) cân tại P.

Gọi H là trung điểm của MN \( \Rightarrow PH \bot d \Rightarrow PH = d\left( {P;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 6 - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{7}{{\sqrt 5 }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow PM = PN = \sqrt {P{H^2} + \frac{{M{N^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{221}}{{20}}} = \frac{{\sqrt {4420} }}{{20}} = \frac{{2\sqrt {1105} }}{{20}} = \frac{{\sqrt {1105} }}{{10}}\\ \Rightarrow PM + PN = 2.\frac{{\sqrt {1105} }}{{10}} = \frac{{\sqrt {1105} }}{5}\end{array}\)

Vậy \({H_{\max }} = \frac{{\sqrt {1105} }}{5}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.