Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn \(f'\left( x \right) = f\left( x

Câu hỏi số 268811:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn \(f'\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2}{e^x} + 1\,\,\forall x \in R\) và \(f\left( 0 \right) = - 1\). Tính \(f\left( 3 \right)\).

A. \(6{e^3} + 3\)

B. \(6{e^2} + 2\)

C. \(3{e^2} - 1\)

D. \(9{e^3} - 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268811

Phương pháp giải

+) Chuyển vế và nhân cả hai vế với \({e^{ - x}}\).

+) Lấy nguyên hàm hai vế.

Giải chi tiết

Chuyển vế và nhân cả hai vế với \({e^{ - x}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2}{e^x} + 1\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}f\left( x \right) = {x^2} + {e^{ - x}}\end{array}\)

Ta có \(\left[ {f\left( x \right){e^{ - x}}} \right]' = f'\left( x \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {f\left( x \right){e^{ - x}}} \right]' = {x^2} + {e^{ - x}}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được \(f\left( x \right){e^{ - x}} = \frac{{{x^3}}}{3} - {e^{ - x}} + C \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}{e^x}}}{3} - 1 + C{e^x}\)

Ta có \(f\left( 0 \right) = - 1 \Leftrightarrow - 1 + C = - 1 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}{e^x}}}{3} - 1\)

\( \Rightarrow f\left( 3 \right) = \frac{{{3^3}.{e^3}}}{3} - 1 = 9{e^3} - 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.